Derivada de ln(tg(x/2))

1. Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

4. Simplificamos:

   $\frac{1}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$