Sr Examen

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y=(-cosx/(2sinx^2)x)+(1/2)ln*tg(x/2)

Derivada de y=(-cosx/(2sinx^2)x)+(1/2)ln*tg(x/2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 -cos(x)      log(x)    /x\
---------*x + ------*tan|-|
     2          2       \2/
2*sin (x)                  
x(1)cos(x)2sin2(x)+log(x)2tan(x2)x \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}
((-cos(x))/((2*sin(x)^2)))*x + (log(x)/2)*tan(x/2)
Solución detallada
  1. diferenciamos x(1)cos(x)2sin2(x)+log(x)2tan(x2)x \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=xcos(x)f{\left(x \right)} = - x \cos{\left(x \right)} y g(x)=2sin2(x)g{\left(x \right)} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

          f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Como resultado de: xsin(x)+cos(x)- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

        Entonces, como resultado: xsin(x)cos(x)x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2sin(x)cos(x)2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

        Entonces, como resultado: 4sin(x)cos(x)4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      4xsin(x)cos2(x)+2(xsin(x)cos(x))sin2(x)4sin4(x)\frac{4 x \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{4 \sin^{4}{\left(x \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=log(x)tan(x2)f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} y g(x)=2g{\left(x \right)} = 2.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=log(x)f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Derivado log(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

        g(x)=tan(x2)g{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan(x2)=sin(x2)cos(x2)\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin(x2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} y g(x)=cos(x2)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            cos(x2)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            sin(x2)2- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          sin2(x2)2+cos2(x2)2cos2(x2)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

        Como resultado de: (sin2(x2)2+cos2(x2)2)log(x)cos2(x2)+tan(x2)x\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \log{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada de una constante 22 es igual a cero.

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      (sin2(x2)2+cos2(x2)2)log(x)2cos2(x2)+tan(x2)2x\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \log{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}

    Como resultado de: 4xsin(x)cos2(x)+2(xsin(x)cos(x))sin2(x)4sin4(x)+(sin2(x2)2+cos2(x2)2)log(x)2cos2(x2)+tan(x2)2x\frac{4 x \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{4 \sin^{4}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \log{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}

  2. Simplificamos:

    x(xcos(2x)+3xsin(2x))cos2(x2)+xlog(x)sin3(x)cos(2x)2+cos(4x)8+382x(cos(x)+1)sin3(x)\frac{x \left(x \cos{\left(2 x \right)} + 3 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + x \log{\left(x \right)} \sin^{3}{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3}{8}}{2 x \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}


Respuesta:

x(xcos(2x)+3xsin(2x))cos2(x2)+xlog(x)sin3(x)cos(2x)2+cos(4x)8+382x(cos(x)+1)sin3(x)\frac{x \left(x \cos{\left(2 x \right)} + 3 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + x \log{\left(x \right)} \sin^{3}{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3}{8}}{2 x \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50000005000000
Primera derivada [src]
                                                      /       2/x\\       
                                                      |    tan |-||       
                                                /x\   |1       \2/|       
  /   2                      \               tan|-|   |- + -------|*log(x)
  |cos (x)       1           |    -cos(x)       \2/   \2      2   /       
x*|------- + ---------*sin(x)| + --------- + ------ + --------------------
  |   3           2          |        2       2*x              2          
  \sin (x)   2*sin (x)       /   2*sin (x)                                
x(12sin2(x)sin(x)+cos2(x)sin3(x))+(tan2(x2)2+12)log(x)2+(1)cos(x)2sin2(x)+tan(x2)2xx \left(\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) + \frac{\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}
Segunda derivada [src]
                                                                            /         2   \       
                                                                            |    6*cos (x)|       
                2/x\                  /x\   /       2/x\\           /x\   x*|5 + ---------|*cos(x)
         1 + tan |-|        2      tan|-|   |1 + tan |-||*log(x)*tan|-|     |        2    |       
  1              \2/   2*cos (x)      \2/   \        \2//           \2/     \     sin (x) /       
------ + ----------- + --------- - ------ + --------------------------- - ------------------------
sin(x)       2*x           3           2                 4                            2           
                        sin (x)     2*x                                          2*sin (x)        
x(5+6cos2(x)sin2(x))cos(x)2sin2(x)+(tan2(x2)+1)log(x)tan(x2)4+1sin(x)+2cos2(x)sin3(x)+tan2(x2)+12xtan(x2)2x2- \frac{x \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{2 x} - \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x^{2}}
Tercera derivada [src]
                                                                             /          4            2   \                                                        
                                                                2            |    24*cos (x)   28*cos (x)|                                                        
   /x\                             /       2/x\\   /       2/x\\           x*|5 + ---------- + ----------|      2/x\ /       2/x\\            /       2/x\\    /x\
tan|-|        3                  3*|1 + tan |-||   |1 + tan |-|| *log(x)     |        4            2     |   tan |-|*|1 + tan |-||*log(x)   3*|1 + tan |-||*tan|-|
   \2/   9*cos (x)   15*cos(x)     \        \2//   \        \2//             \     sin (x)      sin (x)  /       \2/ \        \2//            \        \2//    \2/
------ - --------- - --------- - --------------- + --------------------- + ------------------------------- + ---------------------------- + ----------------------
   3         4            2               2                  8                         2*sin(x)                           4                          4*x          
  x       sin (x)    2*sin (x)         4*x                                                                                                                        
x(5+28cos2(x)sin2(x)+24cos4(x)sin4(x))2sin(x)+(tan2(x2)+1)2log(x)8+(tan2(x2)+1)log(x)tan2(x2)415cos(x)2sin2(x)9cos3(x)sin4(x)+3(tan2(x2)+1)tan(x2)4x3(tan2(x2)+1)4x2+tan(x2)x3\frac{x \left(5 + \frac{28 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{24 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right)}{2 \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(x \right)}}{8} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{15 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{9 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4 x} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)}{4 x^{2}} + \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{3}}
Gráfico
Derivada de y=(-cosx/(2sinx^2)x)+(1/2)ln*tg(x/2)