Derivada de (x*sin(x/4)+((4-x)/x))

1. diferenciamos $x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \frac{4 - x}{x}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{x}{4}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{4}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{4}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$

      Como resultado de: $\frac{x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 4 - x$ y $g{\left(x \right)} = x$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $4 - x$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de: $-1$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $- \frac{4}{x^{2}}$

   Como resultado de: $\frac{x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - \frac{4}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - \frac{4}{x^{2}}$

Respuesta:

$\frac{x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - \frac{4}{x^{2}}$