Derivada de y=x((lnx)/(sinx))+x(ctgx)

Solución

Ha introducido [src]

  log(x)           
x*------ + x*cot(x)
  sin(x)

$$x \frac{\log{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + x \cot{\left(x \right)}$$

x*(log(x)/sin(x)) + x*cot(x)

Solución detallada

diferenciamos $x \frac{\log{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + x \cot{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
    Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{- x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
    Method #1
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
    2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
    3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
      
      Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
    Method #2
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $- \frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \cot{\left(x \right)}$
Como resultado de: $- \frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{- x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \cot{\left(x \right)}$
Simplificamos:

$\frac{- 2 x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 x + 2 \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{- 2 x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 x + 2 \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

  /        2   \     /   1       cos(x)*log(x)\   log(x)         
x*\-1 - cot (x)/ + x*|-------- - -------------| + ------ + cot(x)
                     |x*sin(x)         2      |   sin(x)         
                     \              sin (x)   /

$$x \left(- \frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{x \sin{\left(x \right)}}\right) + x \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \cot{\left(x \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                              /                       2                   \                                             
                              |  1    2*cos(x)   2*cos (x)*log(x)         |                                             
                            x*|- -- - -------- + ---------------- + log(x)|                                             
                              |   2   x*sin(x)          2                 |                                             
          2         2         \  x                   sin (x)              /   2*cos(x)*log(x)       /       2   \       
-2 - 2*cot (x) + -------- + ----------------------------------------------- - --------------- + 2*x*\1 + cot (x)/*cot(x)
                 x*sin(x)                        sin(x)                              2                                  
                                                                                  sin (x)

$$2 x \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \frac{x \left(\log{\left(x \right)} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2 + \frac{2}{x \sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                                                                         /              3                                                2   \                                                           
                                                                         |2    3   6*cos (x)*log(x)   5*cos(x)*log(x)    3*cos(x)   6*cos (x)|                                                           
                                                                       x*|-- + - - ---------------- - --------------- + --------- + ---------|                                                           
                               2                                         | 3   x          3                sin(x)        2               2   |                                                2          
      3           /       2   \    3*log(x)     /       2   \            \x            sin (x)                          x *sin(x)   x*sin (x)/    6*cos(x)          2    /       2   \   6*cos (x)*log(x)
- --------- - 2*x*\1 + cot (x)/  + -------- + 6*\1 + cot (x)/*cot(x) + ----------------------------------------------------------------------- - --------- - 4*x*cot (x)*\1 + cot (x)/ + ----------------
   2                                sin(x)                                                              sin(x)                                        2                                         3        
  x *sin(x)                                                                                                                                      x*sin (x)                                   sin (x)

$$- 2 x \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} - 4 x \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + \frac{x \left(- \frac{5 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{6 \log{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + \frac{3}{x} + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x^{2} \sin{\left(x \right)}} + \frac{2}{x^{3}}\right)}{\sin{\left(x \right)}} + 6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \frac{3 \log{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{6 \log{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} - \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3}{x^{2} \sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de y=x((lnx)/(sinx))+x(ctgx)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2