Derivada de xsin^2(x+1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x + 1 \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x + 1 \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + 1$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\cos{\left(x + 1 \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \sin{\left(x + 1 \right)} \cos{\left(x + 1 \right)}$

   Como resultado de: $2 x \sin{\left(x + 1 \right)} \cos{\left(x + 1 \right)} + \sin^{2}{\left(x + 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $x \sin{\left(2 x + 2 \right)} - \frac{\cos{\left(2 x + 2 \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

Respuesta:

$x \sin{\left(2 x + 2 \right)} - \frac{\cos{\left(2 x + 2 \right)}}{2} + \frac{1}{2}$