Derivada de y=(ln5×5^sqrt(x))/(2sqrt(x))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 5^{\sqrt{x}} \log{\left(5 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 2 \sqrt{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left(5 \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{5^{\sqrt{x}} \log{\left(5 \right)}}{2 \sqrt{x}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{5^{\sqrt{x}} \log{\left(5 \right)}^{2}}{2 \sqrt{x}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{1}{\sqrt{x}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{5^{\sqrt{x}} \log{\left(5 \right)}^{2} - \frac{5^{\sqrt{x}} \log{\left(5 \right)}}{\sqrt{x}}}{4 x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{5^{\sqrt{x}} \left(\sqrt{x} \log{\left(5 \right)} - 1\right) \log{\left(5 \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{5^{\sqrt{x}} \left(\sqrt{x} \log{\left(5 \right)} - 1\right) \log{\left(5 \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$