Sr Examen

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sqrt(x/(1-x^2))
Derivada de la función/ 1-x^2/ sqrt(x/(1-x^2))

Derivada de sqrt(x/(1-x^2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     ________
    /   x    
   /  ------ 
  /        2 
\/    1 - x
x1−x2\sqrt{\frac{x}{1 - x^{2}}} 
sqrt(x/(1 - x^2))
Solución detallada

  1. Sustituimos u=x1−x2u = \frac{x}{1 - x^{2}}.

  2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx1−x2\frac{d}{d x} \frac{x}{1 - x^{2}}:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x y g(x)=1−x2g{\left(x \right)} = 1 - x^{2}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos 1−x21 - x^{2} miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Entonces, como resultado: −2x- 2 x

        Como resultado de: −2x- 2 x

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      x2+1(1−x2)2\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    x2+12x1−x2(1−x2)2\frac{x^{2} + 1}{2 \sqrt{\frac{x}{1 - x^{2}}} \left(1 - x^{2}\right)^{2}}

  4. Simplificamos:

    x2+12−xx2−1(x2−1)2\frac{x^{2} + 1}{2 \sqrt{- \frac{x}{x^{2} - 1}} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}

Respuesta:

x2+12−xx2−1(x2−1)2\frac{x^{2} + 1}{2 \sqrt{- \frac{x}{x^{2} - 1}} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010020
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
     ________          /                  2   \
    /   x     /     2\ |    1            x    |
   /  ------ *\1 - x /*|---------- + ---------|
  /        2           |  /     2\           2|
\/    1 - x            |2*\1 - x /   /     2\ |
                       \             \1 - x / /
-----------------------------------------------
                       x
x1−x2(1−x2)(x2(1−x2)2+12(1−x2))x\frac{\sqrt{\frac{x}{1 - x^{2}}} \left(1 - x^{2}\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(1 - x^{2}\right)}\right)}{x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
               /                                                           2\
               |          2              2              2    /          2 \ |
               |       4*x            2*x            2*x     |       2*x  | |
               |-3 + -------   -1 + -------   -1 + -------   |-1 + -------| |
     _________ |           2              2              2   |           2| |
    /   -x     |     -1 + x         -1 + x         -1 + x    \     -1 + x / |
   /  ------- *|------------ + ------------ - ------------ + ---------------|
  /         2  |        2             2               2               2     |
\/    -1 + x   \  -1 + x           2*x          -1 + x             4*x      /
−xx2−1(−2x2x2−1−1x2−1+4x2x2−1−3x2−1+(2x2x2−1−1)24x2+2x2x2−1−12x2)\sqrt{- \frac{x}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3}{x^{2} - 1} + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{2}} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{2 x^{2}}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
               /                                 2                 3                    /         2          4   \                                                           2                                  \
               |            2      /          2 \    /          2 \              2      |      8*x        8*x    |     /          2 \       /          2 \     /          2 \      /          2 \ /          2 \|
               |         2*x       |       2*x  |    |       2*x  |           2*x     3*|1 - ------- + ----------|     |       4*x  |       |       4*x  |     |       2*x  |      |       2*x  | |       4*x  ||
               |  -1 + -------   3*|-1 + -------|    |-1 + -------|    -1 + -------     |          2            2|   2*|-3 + -------|   4*x*|-3 + -------|   3*|-1 + -------|    3*|-1 + -------|*|-3 + -------||
     _________ |             2     |           2|    |           2|               2     |    -1 + x    /      2\ |     |           2|       |           2|     |           2|      |           2| |           2||
    /   -x     |       -1 + x      \     -1 + x /    \     -1 + x /         -1 + x      \              \-1 + x / /     \     -1 + x /       \     -1 + x /     \     -1 + x /      \     -1 + x / \     -1 + x /|
   /  ------- *|- ------------ - ----------------- - --------------- + ------------ - ---------------------------- - ---------------- + ------------------ + ----------------- - -------------------------------|
  /         2  |        3                  3                  3          /      2\              /      2\                /      2\                   2             /      2\                  /      2\         |
\/    -1 + x   |       x                4*x                8*x         x*\-1 + x /            x*\-1 + x /              x*\-1 + x /          /      2\          2*x*\-1 + x /              2*x*\-1 + x /         |
               \                                                                                                                            \-1 + x /                                                           /
−xx2−1(4x(4x2x2−1−3)(x2−1)2+3(2x2x2−1−1)22x(x2−1)−3(2x2x2−1−1)(4x2x2−1−3)2x(x2−1)+2x2x2−1−1x(x2−1)−2(4x2x2−1−3)x(x2−1)−3(8x4(x2−1)2−8x2x2−1+1)x(x2−1)−(2x2x2−1−1)38x3−3(2x2x2−1−1)24x3−2x2x2−1−1x3)\sqrt{- \frac{x}{x^{2} - 1}} \left(\frac{4 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{2 x \left(x^{2} - 1\right)} - \frac{3 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{2 x \left(x^{2} - 1\right)} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x \left(x^{2} - 1\right)} - \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x \left(x^{2} - 1\right)} - \frac{3 \left(\frac{8 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right)}{x \left(x^{2} - 1\right)} - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{3}}{8 x^{3}} - \frac{3 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{3}} - \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{3}}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de sqrt(x/(1-x^2))
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