Derivada de y=ln(5x-3)/(4tg(3x^4))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(5 x - 3 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 4 \tan{\left(3 x^{4} \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 5 x - 3$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(5 x - 3\right)$:

      1. diferenciamos $5 x - 3$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         2. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

         Como resultado de: $5$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{5}{5 x - 3}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(3 x^{4} \right)} = \frac{\sin{\left(3 x^{4} \right)}}{\cos{\left(3 x^{4} \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x^{4} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x^{4} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 3 x^{4}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x^{4}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

               Entonces, como resultado: $12 x^{3}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $12 x^{3} \cos{\left(3 x^{4} \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 3 x^{4}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x^{4}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

               Entonces, como resultado: $12 x^{3}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 12 x^{3} \sin{\left(3 x^{4} \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{12 x^{3} \sin^{2}{\left(3 x^{4} \right)} + 12 x^{3} \cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{4 \left(12 x^{3} \sin^{2}{\left(3 x^{4} \right)} + 12 x^{3} \cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{4 \left(12 x^{3} \sin^{2}{\left(3 x^{4} \right)} + 12 x^{3} \cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}\right) \log{\left(5 x - 3 \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}} + \frac{20 \tan{\left(3 x^{4} \right)}}{5 x - 3}}{16 \tan^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- 120 x^{4} \log{\left(5 x - 3 \right)} + 72 x^{3} \log{\left(5 x - 3 \right)} + 5 \sin{\left(6 x^{4} \right)}}{4 \left(1 - \cos{\left(6 x^{4} \right)}\right) \left(5 x - 3\right)}$

Respuesta:

$\frac{- 120 x^{4} \log{\left(5 x - 3 \right)} + 72 x^{3} \log{\left(5 x - 3 \right)} + 5 \sin{\left(6 x^{4} \right)}}{4 \left(1 - \cos{\left(6 x^{4} \right)}\right) \left(5 x - 3\right)}$