Derivada de x*sin(e^(4*x)-5)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{4 x} - 5 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{4 x} - 5$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(e^{4 x} - 5\right)$:

      1. diferenciamos $e^{4 x} - 5$ miembro por miembro:

         1. Sustituimos $u = 4 x$.

         2. Derivado $e^{u}$ es.

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $4$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $4 e^{4 x}$

         4. La derivada de una constante $-5$ es igual a cero.

         Como resultado de: $4 e^{4 x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $4 e^{4 x} \cos{\left(e^{4 x} - 5 \right)}$

   Como resultado de: $4 x e^{4 x} \cos{\left(e^{4 x} - 5 \right)} + \sin{\left(e^{4 x} - 5 \right)}$

2. Simplificamos:

   $4 x e^{4 x} \cos{\left(e^{4 x} - 5 \right)} + \sin{\left(e^{4 x} - 5 \right)}$

Respuesta:

$4 x e^{4 x} \cos{\left(e^{4 x} - 5 \right)} + \sin{\left(e^{4 x} - 5 \right)}$