Derivada de xlog(1-x)-x^2

1. diferenciamos $- x^{2} + x \log{\left(1 - x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 1 - x$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)$:

         1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-1$

            Como resultado de: $-1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{1}{1 - x}$

      Como resultado de: $- \frac{x}{1 - x} + \log{\left(1 - x \right)}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      Entonces, como resultado: $- 2 x$

   Como resultado de: $- 2 x - \frac{x}{1 - x} + \log{\left(1 - x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x + \left(- 2 x + \log{\left(1 - x \right)}\right) \left(x - 1\right)}{x - 1}$

Respuesta:

$\frac{x + \left(- 2 x + \log{\left(1 - x \right)}\right) \left(x - 1\right)}{x - 1}$