Derivada de ((y+1)^3)((y+2)^2)(y+3)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} g{\left(y \right)} = f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$

   $f{\left(y \right)} = \left(y + 1\right)^{3} \left(y + 2\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} g{\left(y \right)} = f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$

      $f{\left(y \right)} = \left(y + 1\right)^{3}$; calculamos $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

      1. Sustituimos $u = y + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} \left(y + 1\right)$:

         1. diferenciamos $y + 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 \left(y + 1\right)^{2}$

      $g{\left(y \right)} = \left(y + 2\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

      1. Sustituimos $u = y + 2$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} \left(y + 2\right)$:

         1. diferenciamos $y + 2$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 y + 4$

      Como resultado de: $\left(y + 1\right)^{3} \left(2 y + 4\right) + 3 \left(y + 1\right)^{2} \left(y + 2\right)^{2}$

   $g{\left(y \right)} = y + 3$; calculamos $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

   1. diferenciamos $y + 3$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

      2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

      Como resultado de: $1$

   Como resultado de: $\left(y + 1\right)^{3} \left(y + 2\right)^{2} + \left(y + 3\right) \left(\left(y + 1\right)^{3} \left(2 y + 4\right) + 3 \left(y + 1\right)^{2} \left(y + 2\right)^{2}\right)$

2. Simplificamos:

   $\left(y + 1\right)^{2} \left(y + 2\right) \left(\left(y + 1\right) \left(y + 2\right) + \left(y + 3\right) \left(5 y + 8\right)\right)$

Respuesta:

$\left(y + 1\right)^{2} \left(y + 2\right) \left(\left(y + 1\right) \left(y + 2\right) + \left(y + 3\right) \left(5 y + 8\right)\right)$