Sr Examen

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(x*sqrt((1-x)/(1+x^2)))+(ln(ln*x))
Derivada de la función/ x*sqrt((1-x)/(1+x^2))/ (x*sqrt((1-x)/(1+x^2)))+(ln(ln*x))

Derivada de (x*sqrt((1-x)/(1+x^2)))+(ln(ln*x))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       ________              
      / 1 - x                
x*   /  ------  + log(log(x))
    /        2               
  \/    1 + x
x1−xx2+1+log⁡(log⁡(x))x \sqrt{\frac{1 - x}{x^{2} + 1}} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} 
x*sqrt((1 - x)/(1 + x^2)) + log(log(x))
Solución detallada

  1. diferenciamos x1−xx2+1+log⁡(log⁡(x))x \sqrt{\frac{1 - x}{x^{2} + 1}} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=x1−xf{\left(x \right)} = x \sqrt{1 - x} y g(x)=x2+1g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        g(x)=1−xg{\left(x \right)} = \sqrt{1 - x}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=1−xu = 1 - x.

        2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(1−x)\frac{d}{d x} \left(1 - x\right):

          1. diferenciamos 1−x1 - x miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: −1-1

            Como resultado de: −1-1

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −121−x- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}

        Como resultado de: −x21−x+1−x- \frac{x}{2 \sqrt{1 - x}} + \sqrt{1 - x}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x2+1u = x^{2} + 1.

      2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2+1)\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right):

        1. diferenciamos x2+1x^{2} + 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Como resultado de: 2x2 x

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        xx2+1\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      −x21−xx2+1+x2+1(−x21−x+1−x)x2+1\frac{- \frac{x^{2} \sqrt{1 - x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{x^{2} + 1} \left(- \frac{x}{2 \sqrt{1 - x}} + \sqrt{1 - x}\right)}{x^{2} + 1}

    2. Sustituimos u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    3. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxlog⁡(x)\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}:

      1. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      1xlog⁡(x)\frac{1}{x \log{\left(x \right)}}

    Como resultado de: −x21−xx2+1+x2+1(−x21−x+1−x)x2+1+1xlog⁡(x)\frac{- \frac{x^{2} \sqrt{1 - x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{x^{2} + 1} \left(- \frac{x}{2 \sqrt{1 - x}} + \sqrt{1 - x}\right)}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    x(x2(2x−2)−(3x−2)(x2+1))log⁡(x)2+1−x(x2+1)32x1−x(x2+1)32log⁡(x)\frac{\frac{x \left(x^{2} \left(2 x - 2\right) - \left(3 x - 2\right) \left(x^{2} + 1\right)\right) \log{\left(x \right)}}{2} + \sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{x \sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}}

Respuesta:

x(x2(2x−2)−(3x−2)(x2+1))log⁡(x)2+1−x(x2+1)32x1−x(x2+1)32log⁡(x)\frac{\frac{x \left(x^{2} \left(2 x - 2\right) - \left(3 x - 2\right) \left(x^{2} + 1\right)\right) \log{\left(x \right)}}{2} + \sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{x \sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100-20
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                                ________                           
                               /      2  /      1        x*(1 - x)\
                           x*\/  1 + x  *|- ---------- - ---------|
                                         |    /     2\           2|
     ________                            |  2*\1 + x /   /     2\ |
    / 1 - x        1                     \               \1 + x / /
   /  ------  + -------- + ----------------------------------------
  /        2    x*log(x)                    _______                
\/    1 + x                               \/ 1 - x
xx2+1(−x(1−x)(x2+1)2−12(x2+1))1−x+1−xx2+1+1xlog⁡(x)\frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \left(- \frac{x \left(1 - x\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)}{\sqrt{1 - x}} + \sqrt{\frac{1 - x}{x^{2} + 1}} + \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                       /              2         \                                                                                     
                                   2*x*(-1 + x)        |           4*x *(-1 + x)|     2 /     2*x*(-1 + x)\     _______ /     2*x*(-1 + x)\      /     2*x*(-1 + x)\  
                              -1 + ------------      x*|-1 + 3*x - -------------|    x *|-1 + ------------|   \/ 1 - x *|-1 + ------------|    x*|-1 + ------------|  
                                           2           |                    2   |       |             2   |             |             2   |      |             2   |  
      1           1                   1 + x            \               1 + x    /       \        1 + x    /             \        1 + x    /      \        1 + x    /  
- --------- - ---------- + ----------------------- + ---------------------------- + ----------------------- - ----------------------------- + ------------------------
   2           2    2           ________                        3/2                           3/2                      ________                    ________           
  x *log(x)   x *log (x)       /      2    _______      /     2\      _______         /     2\      _______           /      2                    /      2         3/2
                           2*\/  1 + x  *\/ 1 - x       \1 + x /   *\/ 1 - x        2*\1 + x /   *\/ 1 - x        2*\/  1 + x  *(-1 + x)      4*\/  1 + x  *(1 - x)
x2(2x(x−1)x2+1−1)21−x(x2+1)32+x(−4x2(x−1)x2+1+3x−1)1−x(x2+1)32+x(2x(x−1)x2+1−1)4(1−x)32x2+1−1−x(2x(x−1)x2+1−1)2(x−1)x2+1+2x(x−1)x2+1−121−xx2+1−1x2log⁡(x)−1x2log⁡(x)2\frac{x^{2} \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{2 \sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \left(- \frac{4 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} + 3 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{4 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}} \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{\sqrt{1 - x} \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{2 \left(x - 1\right) \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1}{2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{x^{2} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                                                                                                                                                              /        2                      3         \                                                                                                                                 
                                                                 /              2         \     /              2         \                                   /              2         \       |     4*x     4*x*(-1 + x)   8*x *(-1 + x)|                                                 /                  _______\                                                     
                                             2*x*(-1 + x)        |           4*x *(-1 + x)|     |           4*x *(-1 + x)|     2 /     2*x*(-1 + x)\       2 |           4*x *(-1 + x)|   3*x*|1 - ------ - ------------ + -------------|     3 /     2*x*(-1 + x)\   /     2*x*(-1 + x)\ |    1       2*x*\/ 1 - x |       /     2*x*(-1 + x)\        /     2*x*(-1 + x)\
                                        -1 + ------------      3*|-1 + 3*x - -------------|   x*|-1 + 3*x - -------------|    x *|-1 + ------------|    2*x *|-1 + 3*x - -------------|       |         2           2                2  |    x *|-1 + ------------|   |-1 + ------------|*|--------- + -------------|   3*x*|-1 + ------------|    5*x*|-1 + ------------|
                                                     2           |                    2   |     |                    2   |       |             2   |         |                    2   |       |    1 + x       1 + x         /     2\   |       |             2   |   |             2   | |  _______            2   |       |             2   |        |             2   |
    2           2            3                  1 + x            \               1 + x    /     \               1 + x    /       \        1 + x    /         \               1 + x    /       \                              \1 + x /   /       \        1 + x    /   \        1 + x    / \\/ 1 - x        1 + x    /       \        1 + x    /        \        1 + x    /
--------- + ---------- + ---------- + ---------------------- + ---------------------------- + ---------------------------- + ------------------------ + ------------------------------- + ----------------------------------------------- - ----------------------- + ----------------------------------------------- + ------------------------ + -----------------------
 3           3    3       3    2         ________                         3/2                            3/2                           3/2                           5/2                                       3/2                                    5/2                               ________                             ________                        3/2          
x *log(x)   x *log (x)   x *log (x)     /      2         3/2      /     2\      _______          /     2\           3/2        /     2\           3/2        /     2\      _______                     /     2\      _______                  /     2\      _______                    /      2                             /      2         5/2     /     2\      _______
                                      \/  1 + x  *(1 - x)         \1 + x /   *\/ 1 - x           \1 + x /   *(1 - x)         2*\1 + x /   *(1 - x)           \1 + x /   *\/ 1 - x                      \1 + x /   *\/ 1 - x                 2*\1 + x /   *\/ 1 - x                 4*\/  1 + x  *(-1 + x)               8*\/  1 + x  *(1 - x)      2*\1 + x /   *\/ 1 - x
−x3(2x(x−1)x2+1−1)21−x(x2+1)52+2x2(−4x2(x−1)x2+1+3x−1)1−x(x2+1)52+x2(2x(x−1)x2+1−1)2(1−x)32(x2+1)32+5x(2x(x−1)x2+1−1)21−x(x2+1)32+3x(8x3(x−1)(x2+1)2−4x2x2+1−4x(x−1)x2+1+1)1−x(x2+1)32+x(−4x2(x−1)x2+1+3x−1)(1−x)32(x2+1)32+3x(2x(x−1)x2+1−1)8(1−x)52x2+1+(2x1−xx2+1+11−x)(2x(x−1)x2+1−1)4(x−1)x2+1+3(−4x2(x−1)x2+1+3x−1)1−x(x2+1)32+2x(x−1)x2+1−1(1−x)32x2+1+2x3log⁡(x)+3x3log⁡(x)2+2x3log⁡(x)3- \frac{x^{3} \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{2 \sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 x^{2} \left(- \frac{4 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} + 3 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{x^{2} \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{5 x \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{2 \sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x \left(\frac{8 x^{3} \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{4 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} + 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \left(- \frac{4 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} + 3 x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{8 \left(1 - x\right)^{\frac{5}{2}} \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{\left(\frac{2 x \sqrt{1 - x}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\right) \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{4 \left(x - 1\right) \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{3 \left(- \frac{4 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} + 3 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1}{\left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}} \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{2}{x^{3} \log{\left(x \right)}} + \frac{3}{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{2}{x^{3} \log{\left(x \right)}^{3}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de (x*sqrt((1-x)/(1+x^2)))+(ln(ln*x))
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