Derivada de x*sqrt((1-x)/(1+x^2))

Ha introducido [src]

       ________
      / 1 - x  
x*   /  ------ 
    /        2 
  \/    1 + x

x \sqrt{\frac{1 - x}{x^{2} + 1}}

x*sqrt((1 - x)/(1 + x^2))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \sqrt{1 - x}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \sqrt{1 - x}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = 1 - x$ .
  2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)$ :
    1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:
      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
        
        Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
        
        Entonces, como resultado: $-1$
      Como resultado de: $-1$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$
  Como resultado de: $- \frac{x}{2 \sqrt{1 - x}} + \sqrt{1 - x}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$ .
2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$ :
  1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:
    1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
    2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$
    Como resultado de: $2 x$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- \frac{x^{2} \sqrt{1 - x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{x^{2} + 1} \left(- \frac{x}{2 \sqrt{1 - x}} + \sqrt{1 - x}\right)}{x^{2} + 1}$
Simplificamos:

$- \frac{x^{3} + 3 x - 2}{2 \sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$- \frac{x^{3} + 3 x - 2}{2 \sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                     ________                           
                    /      2  /      1        x*(1 - x)\
                x*\/  1 + x  *|- ---------- - ---------|
                              |    /     2\           2|
     ________                 |  2*\1 + x /   /     2\ |
    / 1 - x                   \               \1 + x / /
   /  ------  + ----------------------------------------
  /        2                     _______                
\/    1 + x                    \/ 1 - x

\frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \left(- \frac{x \left(1 - x\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)}{\sqrt{1 - x}} + \sqrt{\frac{1 - x}{x^{2} + 1}}

Simplificar

Segunda derivada [src]

                      /                                            /                  _______\     /             2         \                          \
                      |  /     2*x*(-1 + x)\   /     2*x*(-1 + x)\ |    1       2*x*\/ 1 - x |     |          4*x *(-1 + x)|       /     2*x*(-1 + x)\|
                      |2*|-1 + ------------|   |-1 + ------------|*|--------- + -------------|   4*|1 - 3*x + -------------|   4*x*|-1 + ------------||
                      |  |             2   |   |             2   | |  _______            2   |     |                   2   |       |             2   ||
     2*x*(-1 + x)     |  \        1 + x    /   \        1 + x    / \\/ 1 - x        1 + x    /     \              1 + x    /       \        1 + x    /|
-1 + ------------   x*|--------------------- + ----------------------------------------------- - --------------------------- + -----------------------|
             2        |             3/2                             -1 + x                            /     2\   _______          /     2\   _______  |
        1 + x         \      (1 - x)                                                                  \1 + x /*\/ 1 - x           \1 + x /*\/ 1 - x   /
----------------- + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
      _______                                                                        4                                                                 
    \/ 1 - x                                                                                                                                           
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                         ________                                                                      
                                                                        /      2                                                                       
                                                                      \/  1 + x

\frac{\frac{x \left(\frac{4 x \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\left(\frac{2 x \sqrt{1 - x}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\right) \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x - 1} - \frac{4 \left(\frac{4 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 3 x + 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{2 \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} + \frac{\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{1 - x}}}{\sqrt{x^{2} + 1}}

Simplificar

Tercera derivada [src]

    /                                              /                   _______                            2   _______\      /        2                      3         \                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 \                                                                                                                                    
    |                          /     2*x*(-1 + x)\ |      1        4*\/ 1 - x           4*x           12*x *\/ 1 - x |      |     4*x     4*x*(-1 + x)   8*x *(-1 + x)|                                                 /                  _______\      /             2         \                               /                  _______\ /             2         \                                   /             2         \                           /                  _______\|                                                                                                                                    
    |    /     2*x*(-1 + x)\   |-1 + ------------|*|- ---------- - ----------- + ------------------ + ---------------|   24*|1 - ------ - ------------ + -------------|     /     2*x*(-1 + x)\     /     2*x*(-1 + x)\ |    1       2*x*\/ 1 - x |      |          4*x *(-1 + x)|       /     2*x*(-1 + x)\     |    1       2*x*\/ 1 - x | |          4*x *(-1 + x)|      2 /     2*x*(-1 + x)\        |          4*x *(-1 + x)|       /     2*x*(-1 + x)\ |    1       2*x*\/ 1 - x ||                                                                                                                                    
    |  6*|-1 + ------------|   |             2   | |         3/2           2     /     2\   _______              2   |      |         2           2                2  |   8*|-1 + ------------|   2*|-1 + ------------|*|--------- + -------------|   12*|1 - 3*x + -------------|   8*x*|-1 + ------------|   4*|--------- + -------------|*|1 - 3*x + -------------|   8*x *|-1 + ------------|   24*x*|1 - 3*x + -------------|   4*x*|-1 + ------------|*|--------- + -------------||                                                                                                                                    
    |    |             2   |   \        1 + x    / |  (1 - x)         1 + x      \1 + x /*\/ 1 - x       /     2\    |      |    1 + x       1 + x         /     2\   |     |             2   |     |             2   | |  _______            2   |      |                   2   |       |             2   |     |  _______            2   | |                   2   |        |             2   |        |                   2   |       |             2   | |  _______            2   ||                                                                                                                                    
    |    \        1 + x    /                       \                                                     \1 + x /    /      \                              \1 + x /   /     \        1 + x    /     \        1 + x    / \\/ 1 - x        1 + x    /      \              1 + x    /       \        1 + x    /     \\/ 1 - x        1 + x    / \              1 + x    /        \        1 + x    /        \              1 + x    /       \        1 + x    / \\/ 1 - x        1 + x    /|                             /             2         \                         /                  _______\                          
  x*|- --------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------- - ---------------------------------------------- - --------------------- + ------------------------------------------------- + ---------------------------- - ----------------------- + ------------------------------------------------------- + ------------------------ + ------------------------------ - ---------------------------------------------------|     /     2*x*(-1 + x)\     |          4*x *(-1 + x)|     /     2*x*(-1 + x)\ |    1       2*x*\/ 1 - x |       /     2*x*(-1 + x)\
    |               5/2                                                 -1 + x                                                         /     2\   _______                   /     2\   _______                                2                           /     2\        3/2          /     2\        3/2                        /     2\                                         2                             2                                    /     2\                          |   3*|-1 + ------------|   3*|1 - 3*x + -------------|   3*|-1 + ------------|*|--------- + -------------|   3*x*|-1 + ------------|
    |        (1 - x)                                                                                                                   \1 + x /*\/ 1 - x                    \1 + x /*\/ 1 - x                         (-1 + x)                            \1 + x /*(1 - x)             \1 + x /*(1 - x)                           \1 + x /*(-1 + x)                        /     2\    _______           /     2\    _______                          \1 + x /*(-1 + x)                 |     |             2   |     |                   2   |     |             2   | |  _______            2   |       |             2   |
    \                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      \1 + x / *\/ 1 - x            \1 + x / *\/ 1 - x                                                             /     \        1 + x    /     \              1 + x    /     \        1 + x    / \\/ 1 - x        1 + x    /       \        1 + x    /
- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + --------------------- - --------------------------- + ------------------------------------------------- + -----------------------
                                                                                                                                                                                                                                             8                                                                                                                                                                                                                                                            3/2            /     2\   _______                           4*(-1 + x)                         /     2\   _______  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 2*(1 - x)               \1 + x /*\/ 1 - x                                                               \1 + x /*\/ 1 - x   
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ________                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                                                                                                                           /      2                                                                                                                                                                                                                                                                                                          
                                                                                                                                                                                                                                                                                                         \/  1 + x

\frac{- \frac{x \left(\frac{8 x^{2} \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{4 x \left(\frac{2 x \sqrt{1 - x}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\right) \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{24 x \left(\frac{4 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 3 x + 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{8 x \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right) \left(\frac{12 x^{2} \sqrt{1 - x}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{4 x}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{4 \sqrt{1 - x}}{x^{2} + 1} - \frac{1}{\left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}\right)}{x - 1} + \frac{4 \left(\frac{2 x \sqrt{1 - x}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\right) \left(\frac{4 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 3 x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{2 \left(\frac{2 x \sqrt{1 - x}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\right) \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{8 \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{24 \left(\frac{8 x^{3} \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{4 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} + 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{12 \left(\frac{4 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 3 x + 1\right)}{\left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}} \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{6 \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{\frac{5}{2}}}\right)}{8} + \frac{3 x \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{2 x \sqrt{1 - x}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\right) \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{4 \left(x - 1\right)} - \frac{3 \left(\frac{4 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 3 x + 1\right)}{\sqrt{1 - x} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{2 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - 1\right)}{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{x^{2} + 1}}

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Derivada de x*sqrt((1-x)/(1+x^2))

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución