Derivada de x+x*ln(x+0.5)

1. diferenciamos $x \log{\left(x + \frac{1}{2} \right)} + x$ miembro por miembro:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x + \frac{1}{2} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + \frac{1}{2}$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{1}{2}\right)$:

         1. diferenciamos $x + \frac{1}{2}$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $\frac{1}{2}$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{x + \frac{1}{2}}$

      Como resultado de: $\frac{x}{x + \frac{1}{2}} + \log{\left(x + \frac{1}{2} \right)}$

   Como resultado de: $\frac{x}{x + \frac{1}{2}} + \log{\left(x + \frac{1}{2} \right)} + 1$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x + \left(2 x + 1\right) \left(\log{\left(x + \frac{1}{2} \right)} + 1\right)}{2 x + 1}$

Respuesta:

$\frac{2 x + \left(2 x + 1\right) \left(\log{\left(x + \frac{1}{2} \right)} + 1\right)}{2 x + 1}$