Derivada de x*exp(1/(2(sqrt(x))))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = e^{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$:

      1. Sustituimos $u = 2 \sqrt{x}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 \sqrt{x}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{\sqrt{x}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{e^{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

   Como resultado de: $e^{\frac{1}{2 \sqrt{x}}} - \frac{e^{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}}{4 \sqrt{x}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(\sqrt{x} - \frac{1}{4}\right) e^{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}$

Respuesta:

$\frac{\left(\sqrt{x} - \frac{1}{4}\right) e^{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}$