Derivada de sin^n(x)

Ha introducido [src]

   n   
sin (x)

$$\sin^{n}{\left(x \right)}$$

sin(x)^n

Solución detallada

Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$ .
Según el principio, aplicamos: $u^{n}$ tenemos $\frac{n u^{n}}{u}$
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$\frac{n \sin^{n}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$n \sin^{n - 1}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

Respuesta:

$n \sin^{n - 1}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

Primera derivada [src]

     n          
n*sin (x)*cos(x)
----------------
     sin(x)

$$\frac{n \sin^{n}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

          /        2           2   \
     n    |     cos (x)   n*cos (x)|
n*sin (x)*|-1 - ------- + ---------|
          |        2          2    |
          \     sin (x)    sin (x) /

$$n \left(\frac{n \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 1 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{n}{\left(x \right)}$$

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Tercera derivada [src]

          /               2       2    2             2   \       
     n    |          2*cos (x)   n *cos (x)   3*n*cos (x)|       
n*sin (x)*|2 - 3*n + --------- + ---------- - -----------|*cos(x)
          |              2           2             2     |       
          \           sin (x)     sin (x)       sin (x)  /       
-----------------------------------------------------------------
                              sin(x)

$$\frac{n \left(\frac{n^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 3 n - \frac{3 n \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{n}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

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¿Cómo usar?

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Derivada de sin^n(x)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución