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Derivada de la función/ sin^n(x)

Derivada de sin^n(x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   n   
sin (x)
sin⁡n(x)\sin^{n}{\left(x \right)} 
sin(x)^n
Solución detallada

  1. Sustituimos u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

  2. Según el principio, aplicamos: unu^{n} tenemos nunu\frac{n u^{n}}{u}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}:

    1. La derivada del seno es igual al coseno:

      ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    nsin⁡n(x)cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{n \sin^{n}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

  4. Simplificamos:

    nsin⁡n−1(x)cos⁡(x)n \sin^{n - 1}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

Respuesta:

nsin⁡n−1(x)cos⁡(x)n \sin^{n - 1}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

Primera derivada [src] 
     n          
n*sin (x)*cos(x)
----------------
     sin(x)
nsin⁡n(x)cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{n \sin^{n}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}
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Segunda derivada [src] 
          /        2           2   \
     n    |     cos (x)   n*cos (x)|
n*sin (x)*|-1 - ------- + ---------|
          |        2          2    |
          \     sin (x)    sin (x) /
n(ncos⁡2(x)sin⁡2(x)−1−cos⁡2(x)sin⁡2(x))sin⁡n(x)n \left(\frac{n \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 1 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{n}{\left(x \right)}
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Tercera derivada [src] 
          /               2       2    2             2   \       
     n    |          2*cos (x)   n *cos (x)   3*n*cos (x)|       
n*sin (x)*|2 - 3*n + --------- + ---------- - -----------|*cos(x)
          |              2           2             2     |       
          \           sin (x)     sin (x)       sin (x)  /       
-----------------------------------------------------------------
                              sin(x)
n(n2cos⁡2(x)sin⁡2(x)−3n−3ncos⁡2(x)sin⁡2(x)+2+2cos⁡2(x)sin⁡2(x))sin⁡n(x)cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{n \left(\frac{n^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 3 n - \frac{3 n \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{n}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}
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