Derivada de xlog(x,exp)+x

1. diferenciamos $x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}} + x$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(e^{x} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = e^{x}$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{x}$:

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $1$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{- x \log{\left(x \right)} + \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(e^{x} \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}}$

   2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Como resultado de: $\frac{- x \log{\left(x \right)} + \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(e^{x} \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}} + 1$

2. Simplificamos:

   $\frac{x + 1}{x}$

Respuesta:

$\frac{x + 1}{x}$