Derivada de x*sin(x+3)+cos(x-1)-cos(x+3)

1. diferenciamos $\left(x \sin{\left(x + 3 \right)} + \cos{\left(x - 1 \right)}\right) - \cos{\left(x + 3 \right)}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $x \sin{\left(x + 3 \right)} + \cos{\left(x - 1 \right)}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x + 3 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x + 3$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)$:

            1. diferenciamos $x + 3$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\cos{\left(x + 3 \right)}$

         Como resultado de: $x \cos{\left(x + 3 \right)} + \sin{\left(x + 3 \right)}$

      2. Sustituimos $u = x - 1$.

      3. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)$:

         1. diferenciamos $x - 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \sin{\left(x - 1 \right)}$

      Como resultado de: $x \cos{\left(x + 3 \right)} - \sin{\left(x - 1 \right)} + \sin{\left(x + 3 \right)}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = x + 3$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)$:

         1. diferenciamos $x + 3$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \sin{\left(x + 3 \right)}$

      Entonces, como resultado: $\sin{\left(x + 3 \right)}$

   Como resultado de: $x \cos{\left(x + 3 \right)} - \sin{\left(x - 1 \right)} + 2 \sin{\left(x + 3 \right)}$

2. Simplificamos:

   $x \cos{\left(x + 3 \right)} - \sin{\left(x - 1 \right)} + 2 \sin{\left(x + 3 \right)}$

Respuesta:

$x \cos{\left(x + 3 \right)} - \sin{\left(x - 1 \right)} + 2 \sin{\left(x + 3 \right)}$