Derivada de y=tan(e^(-x))*x^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \tan{\left(e^{- x} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(e^{- x} \right)} = \frac{\sin{\left(e^{- x} \right)}}{\cos{\left(e^{- x} \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{- x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{- x} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = e^{- x}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{- x}$:

         1. Sustituimos $u = - x$.

         2. Derivado $e^{u}$ es.

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- e^{- x}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = e^{- x}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{- x}$:

         1. Sustituimos $u = - x$.

         2. Derivado $e^{u}$ es.

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- e^{- x}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $e^{- x} \sin{\left(e^{- x} \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{- e^{- x} \sin^{2}{\left(e^{- x} \right)} - e^{- x} \cos^{2}{\left(e^{- x} \right)}}{\cos^{2}{\left(e^{- x} \right)}}$

   $g{\left(x \right)} = x^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

   Como resultado de: $\frac{x^{2} \left(- e^{- x} \sin^{2}{\left(e^{- x} \right)} - e^{- x} \cos^{2}{\left(e^{- x} \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(e^{- x} \right)}} + 2 x \tan{\left(e^{- x} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x \left(- x + e^{x} \sin{\left(2 e^{- x} \right)}\right) e^{- x}}{\cos^{2}{\left(e^{- x} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x \left(- x + e^{x} \sin{\left(2 e^{- x} \right)}\right) e^{- x}}{\cos^{2}{\left(e^{- x} \right)}}$