Derivada de y=e^sin^42x

1. Sustituimos $u = \sin^{4}{\left(2 x \right)}$.

2. Derivado $e^{u}$ es.

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin^{4}{\left(2 x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $8 \sin^{3}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $8 e^{\sin^{4}{\left(2 x \right)}} \sin^{3}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$

Respuesta:

$8 e^{\sin^{4}{\left(2 x \right)}} \sin^{3}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$