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Derivada de x/sqrt(a^2+x^2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     x      
------------
   _________
  /  2    2 
\/  a  + x  
xa2+x2\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}
x/sqrt(a^2 + x^2)
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = x y g(x)=a2+x2g{\left(x \right)} = \sqrt{a^{2} + x^{2}}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=a2+x2u = a^{2} + x^{2}.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por x(a2+x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} + x^{2}\right):

      1. diferenciamos a2+x2a^{2} + x^{2} miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante a2a^{2} es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

        Como resultado de: 2x2 x

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      xa2+x2\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    x2a2+x2+a2+x2a2+x2\frac{- \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}{a^{2} + x^{2}}

  2. Simplificamos:

    a2(a2+x2)32\frac{a^{2}}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}


Respuesta:

a2(a2+x2)32\frac{a^{2}}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}

Primera derivada [src]
                     2     
     1              x      
------------ - ------------
   _________            3/2
  /  2    2    / 2    2\   
\/  a  + x     \a  + x /   
x2(a2+x2)32+1a2+x2- \frac{x^{2}}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}
Segunda derivada [src]
  /          2 \
  |       3*x  |
x*|-3 + -------|
  |      2    2|
  \     a  + x /
----------------
           3/2  
  / 2    2\     
  \a  + x /     
x(3x2a2+x23)(a2+x2)32\frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 3\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
Tercera derivada [src]
  /                  /          2 \\
  |                2 |       5*x  ||
  |               x *|-3 + -------||
  |          2       |      2    2||
  |       3*x        \     a  + x /|
3*|-1 + ------- - -----------------|
  |      2    2         2    2     |
  \     a  + x         a  + x      /
------------------------------------
                     3/2            
            / 2    2\               
            \a  + x /               
3(x2(5x2a2+x23)a2+x2+3x2a2+x21)(a2+x2)32\frac{3 \left(- \frac{x^{2} \left(\frac{5 x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 3\right)}{a^{2} + x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}