Derivada de y=1/x+2lnx-lnx/x

1. diferenciamos $\left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $2 \log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Entonces, como resultado: $\frac{2}{x}$

      Como resultado de: $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

   Como resultado de: $\frac{2}{x} - \frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x + \log{\left(x \right)} - 2}{x^{2}}$

Respuesta:

$\frac{2 x + \log{\left(x \right)} - 2}{x^{2}}$