Sr Examen

Derivada de x*ln(tg(3x))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
x*log(tan(3*x))
xlog(tan(3x))x \log{\left(\tan{\left(3 x \right)} \right)}
x*log(tan(3*x))
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    g(x)=log(tan(3x))g{\left(x \right)} = \log{\left(\tan{\left(3 x \right)} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=tan(3x)u = \tan{\left(3 x \right)}.

    2. Derivado log(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan(3x)\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan(3x)=sin(3x)cos(3x)\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin(3x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} y g(x)=cos(3x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 33

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          3cos(3x)3 \cos{\left(3 x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 33

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          3sin(3x)- 3 \sin{\left(3 x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        3sin2(3x)+3cos2(3x)cos2(3x)\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      3sin2(3x)+3cos2(3x)cos2(3x)tan(3x)\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan{\left(3 x \right)}}

    Como resultado de: x(3sin2(3x)+3cos2(3x))cos2(3x)tan(3x)+log(tan(3x))\frac{x \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan{\left(3 x \right)}} + \log{\left(\tan{\left(3 x \right)} \right)}

  2. Simplificamos:

    6xsin(6x)+log(tan(3x))\frac{6 x}{\sin{\left(6 x \right)}} + \log{\left(\tan{\left(3 x \right)} \right)}


Respuesta:

6xsin(6x)+log(tan(3x))\frac{6 x}{\sin{\left(6 x \right)}} + \log{\left(\tan{\left(3 x \right)} \right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Primera derivada [src]
  /         2     \                
x*\3 + 3*tan (3*x)/                
------------------- + log(tan(3*x))
      tan(3*x)                     
x(3tan2(3x)+3)tan(3x)+log(tan(3x))\frac{x \left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3\right)}{\tan{\left(3 x \right)}} + \log{\left(\tan{\left(3 x \right)} \right)}
Segunda derivada [src]
  /                        /                                 2\\
  |  /       2     \       |                  /       2     \ ||
  |2*\1 + tan (3*x)/       |         2        \1 + tan (3*x)/ ||
3*|----------------- + 3*x*|2 + 2*tan (3*x) - ----------------||
  |     tan(3*x)           |                        2         ||
  \                        \                     tan (3*x)    //
3(3x((tan2(3x)+1)2tan2(3x)+2tan2(3x)+2)+2(tan2(3x)+1)tan(3x))3 \left(3 x \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(3 x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2\right) + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(3 x \right)}}\right)
Tercera derivada [src]
   /                                 2                       /                            2                    \\
   |                  /       2     \                        |             /       2     \      /       2     \||
   |         2        \1 + tan (3*x)/        /       2     \ |             \1 + tan (3*x)/    2*\1 + tan (3*x)/||
27*|2 + 2*tan (3*x) - ---------------- + 2*x*\1 + tan (3*x)/*|2*tan(3*x) + ---------------- - -----------------||
   |                        2                                |                   3                 tan(3*x)    ||
   \                     tan (3*x)                           \                tan (3*x)                        //
27(2x(tan2(3x)+1)((tan2(3x)+1)2tan3(3x)2(tan2(3x)+1)tan(3x)+2tan(3x))(tan2(3x)+1)2tan2(3x)+2tan2(3x)+2)27 \left(2 x \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(3 x \right)}} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(3 x \right)}} + 2 \tan{\left(3 x \right)}\right) - \frac{\left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(3 x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2\right)
Gráfico
Derivada de x*ln(tg(3x))