Derivada de y=x*e^(3*x)*cos(x^5+1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{3 x} x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{3 x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 e^{3 x}$

      Como resultado de: $3 x e^{3 x} + e^{3 x}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{5} + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{5} + 1$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{5} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x^{5} + 1$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{5}$ tenemos $5 x^{4}$

         2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $5 x^{4}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 5 x^{4} \sin{\left(x^{5} + 1 \right)}$

   Como resultado de: $- 5 x^{5} e^{3 x} \sin{\left(x^{5} + 1 \right)} + \left(3 x e^{3 x} + e^{3 x}\right) \cos{\left(x^{5} + 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 5 x^{5} \sin{\left(x^{5} + 1 \right)} + \left(3 x + 1\right) \cos{\left(x^{5} + 1 \right)}\right) e^{3 x}$

Respuesta:

$\left(- 5 x^{5} \sin{\left(x^{5} + 1 \right)} + \left(3 x + 1\right) \cos{\left(x^{5} + 1 \right)}\right) e^{3 x}$