Derivada de е^(-3*x)*(33*cos(7*x)+55*sin(7*x))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 55 \sin{\left(7 x \right)} + 33 \cos{\left(7 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{3 x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $55 \sin{\left(7 x \right)} + 33 \cos{\left(7 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = 7 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $7$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 7 \sin{\left(7 x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- 231 \sin{\left(7 x \right)}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = 7 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $7$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $7 \cos{\left(7 x \right)}$

         Entonces, como resultado: $385 \cos{\left(7 x \right)}$

      Como resultado de: $- 231 \sin{\left(7 x \right)} + 385 \cos{\left(7 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 e^{3 x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(\left(- 231 \sin{\left(7 x \right)} + 385 \cos{\left(7 x \right)}\right) e^{3 x} - 3 \left(55 \sin{\left(7 x \right)} + 33 \cos{\left(7 x \right)}\right) e^{3 x}\right) e^{- 6 x}$

2. Simplificamos:

   $22 \left(- 18 \sin{\left(7 x \right)} + 13 \cos{\left(7 x \right)}\right) e^{- 3 x}$

Respuesta:

$22 \left(- 18 \sin{\left(7 x \right)} + 13 \cos{\left(7 x \right)}\right) e^{- 3 x}$