Derivada de (xlnx)/(1-x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 1 - x$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $-1$

      Como resultado de: $-1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{x \log{\left(x \right)} + \left(1 - x\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- x + \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Respuesta:

$\frac{- x + \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2} - 2 x + 1}$