Derivada de x*ln(x/(1-x))

Ha introducido [src]

     /  x  \
x*log|-----|
     \1 - x/

$$x \log{\left(\frac{x}{1 - x} \right)}$$

x*log(x/(1 - x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
$g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{1 - x} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \frac{x}{1 - x}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{1 - x}$ :
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = 1 - x$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:
      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
        
        Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
        
        Entonces, como resultado: $-1$
      Como resultado de: $-1$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{1}{\left(1 - x\right)^{2}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{1}{x \left(1 - x\right)}$
Como resultado de: $\log{\left(\frac{x}{1 - x} \right)} + \frac{1}{1 - x}$
Simplificamos:

$\frac{\left(x - 1\right) \log{\left(- \frac{x}{x - 1} \right)} - 1}{x - 1}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 1\right) \log{\left(- \frac{x}{x - 1} \right)} - 1}{x - 1}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

        /  1        x    \      /  x  \
(1 - x)*|----- + --------| + log|-----|
        |1 - x          2|      \1 - x/
        \        (1 - x) /

$$\left(1 - x\right) \left(\frac{x}{\left(1 - x\right)^{2}} + \frac{1}{1 - x}\right) + \log{\left(\frac{x}{1 - x} \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/       x   \ /  1      1\
|-1 + ------|*|------ - -|
\     -1 + x/ \-1 + x   x/

$$\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

              /                                  /1     1   \\
              |                                3*|- + ------||
/       x   \ |  2        2           2          \x   -1 + x/|
|-1 + ------|*|- -- - --------- - ---------- + --------------|
\     -1 + x/ |   2           2   x*(-1 + x)         x       |
              \  x    (-1 + x)                               /

$$\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right)}{x} - \frac{2}{x \left(x - 1\right)} - \frac{2}{x^{2}}\right)$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

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Derivada de x*ln(x/(1-x))

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución