Sr Examen

Derivada de x*ln(x/(1+x))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /  x  \
x*log|-----|
     \1 + x/
xlog(xx+1)x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}
x*log(x/(1 + x))
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    g(x)=log(xx+1)g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=xx+1u = \frac{x}{x + 1}.

    2. Derivado log(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxxx+1\frac{d}{d x} \frac{x}{x + 1}:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x y g(x)=x+1g{\left(x \right)} = x + 1.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. diferenciamos x+1x + 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Como resultado de: 11

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        1(x+1)2\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      1x(x+1)\frac{1}{x \left(x + 1\right)}

    Como resultado de: log(xx+1)+1x+1\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{x + 1}

  2. Simplificamos:

    (x+1)log(xx+1)+1x+1\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} + 1}{x + 1}


Respuesta:

(x+1)log(xx+1)+1x+1\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} + 1}{x + 1}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10105-10
Primera derivada [src]
        /  1        x    \      /  x  \
(1 + x)*|----- - --------| + log|-----|
        |1 + x          2|      \1 + x/
        \        (1 + x) /             
(x+1)(x(x+1)2+1x+1)+log(xx+1)\left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right) + \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}
Segunda derivada [src]
/       x  \ /  1     1\
|-1 + -----|*|----- - -|
\     1 + x/ \1 + x   x/
(xx+11)(1x+11x)\left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}\right)
Tercera derivada [src]
             /                                /1     1  \\
             |                              3*|- + -----||
/       x  \ |  2       2           2         \x   1 + x/|
|-1 + -----|*|- -- - -------- - --------- + -------------|
\     1 + x/ |   2          2   x*(1 + x)         x      |
             \  x    (1 + x)                             /
(xx+11)(2(x+1)2+3(1x+1+1x)x2x(x+1)2x2)\left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right)}{x} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} - \frac{2}{x^{2}}\right)
Gráfico
Derivada de x*ln(x/(1+x))