Derivada de x*ln(x/(1+x))

Solución

Ha introducido [src]

     /  x  \
x*log|-----|
     \1 + x/

$$x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}$$

x*log(x/(1 + x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
$g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \frac{x}{x + 1}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{x + 1}$ :
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = x + 1$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:
      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
      2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Como resultado de: $1$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{1}{x \left(x + 1\right)}$
Como resultado de: $\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{x + 1}$
Simplificamos:

$\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} + 1}{x + 1}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} + 1}{x + 1}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

        /  1        x    \      /  x  \
(1 + x)*|----- - --------| + log|-----|
        |1 + x          2|      \1 + x/
        \        (1 + x) /

$$\left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right) + \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/       x  \ /  1     1\
|-1 + -----|*|----- - -|
\     1 + x/ \1 + x   x/

$$\left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}\right)$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

             /                                /1     1  \\
             |                              3*|- + -----||
/       x  \ |  2       2           2         \x   1 + x/|
|-1 + -----|*|- -- - -------- - --------- + -------------|
\     1 + x/ |   2          2   x*(1 + x)         x      |
             \  x    (1 + x)                             /

$$\left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right)}{x} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} - \frac{2}{x^{2}}\right)$$

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Gráfico

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Definida a trozos:

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