Derivada de y=5^(3*x)*cos(x)^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 5^{3 x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x$.

   2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left(5 \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \cdot 5^{3 x} \log{\left(5 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- 2 \cdot 5^{3 x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \cdot 5^{3 x} \log{\left(5 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $125^{x} \left(- \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \log{\left(5 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2}\right)$

Respuesta:

$125^{x} \left(- \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \log{\left(5 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2}\right)$