Derivada de y=tg(x/2)-x/sinx

Solución

Ha introducido [src]

   /x\     x   
tan|-| - ------
   \2/   sin(x)

$$- \frac{x}{\sin{\left(x \right)}} + \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

tan(x/2) - x/sin(x)

Solución detallada

diferenciamos $- \frac{x}{\sin{\left(x \right)}} + \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ miembro por miembro:
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
  Entonces, como resultado: $- \frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Como resultado de: $- \frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{2 \left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

       2/x\                    
    tan |-|                    
1       \2/     1      x*cos(x)
- + ------- - ------ + --------
2      2      sin(x)      2    
                       sin (x)

$$\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

/       2/x\\    /x\                                  
|1 + tan |-||*tan|-|                              2   
\        \2//    \2/     x      2*cos(x)   2*x*cos (x)
-------------------- - ------ + -------- - -----------
         2             sin(x)      2            3     
                                sin (x)      sin (x)

$$- \frac{x}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

                        2                                                               
           /       2/x\\       2/x\ /       2/x\\                                       
           |1 + tan |-||    tan |-|*|1 + tan |-||        2                          3   
    3      \        \2//        \2/ \        \2//   6*cos (x)   5*x*cos(x)   6*x*cos (x)
- ------ + -------------- + --------------------- - --------- + ---------- + -----------
  sin(x)         4                    2                 3           2             4     
                                                     sin (x)     sin (x)       sin (x)

$$\frac{5 x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{6 x \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{4} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{3}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$

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Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Derivada de y=tg(x/2)-x/sinx

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución