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y=ln*tg(x/2)-(x/sinx)
Derivada de la función/ x/sinx/ (x/2)/ y=ln*tg(x/2)-(x/sinx)

Derivada de y=ln*tg(x/2)-(x/sinx)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\     x   
log(x)*tan|-| - ------
          \2/   sin(x)
−xsin⁡(x)+log⁡(x)tan⁡(x2)- \frac{x}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} 
log(x)*tan(x/2) - x/sin(x)
Solución detallada

  1. diferenciamos −xsin⁡(x)+log⁡(x)tan⁡(x2)- \frac{x}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=log⁡(x)f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

      g(x)=tan⁡(x2)g{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x2)=sin⁡(x2)cos⁡(x2)\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} y g(x)=cos⁡(x2)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          cos⁡(x2)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡(x2)2- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2cos⁡2(x2)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      Como resultado de: (sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2)log⁡(x)cos⁡2(x2)+tan⁡(x2)x\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \log{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −xcos⁡(x)+sin⁡(x)sin⁡2(x)\frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

      Entonces, como resultado: −−xcos⁡(x)+sin⁡(x)sin⁡2(x)- \frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de: −−xcos⁡(x)+sin⁡(x)sin⁡2(x)+(sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2)log⁡(x)cos⁡2(x2)+tan⁡(x2)x- \frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \log{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}

  2. Simplificamos:

    2x(xcos⁡(x)−sin⁡(x))cos⁡2(x2)+xlog⁡(x)sin⁡2(x)+3sin⁡(x)4−sin⁡(3x)4x(cos⁡(x)+1)sin⁡2(x)\frac{2 x \left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + x \log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{4}}{x \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

2x(xcos⁡(x)−sin⁡(x))cos⁡2(x2)+xlog⁡(x)sin⁡2(x)+3sin⁡(x)4−sin⁡(3x)4x(cos⁡(x)+1)sin⁡2(x)\frac{2 x \left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + x \log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{4}}{x \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
              /x\   /       2/x\\                  
           tan|-|   |    tan |-||                  
    1         \2/   |1       \2/|          x*cos(x)
- ------ + ------ + |- + -------|*log(x) + --------
  sin(x)     x      \2      2   /             2    
                                           sin (x)
xcos⁡(x)sin⁡2(x)+(tan⁡2(x2)2+12)log⁡(x)−1sin⁡(x)+tan⁡(x2)x\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \log{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
       2/x\               /x\              /       2/x\\           /x\              
1 + tan |-|            tan|-|              |1 + tan |-||*log(x)*tan|-|          2   
        \2/     x         \2/   2*cos(x)   \        \2//           \2/   2*x*cos (x)
----------- - ------ - ------ + -------- + --------------------------- - -----------
     x        sin(x)      2        2                    2                     3     
                         x      sin (x)                                    sin (x)
−xsin⁡(x)−2xcos⁡2(x)sin⁡3(x)+(tan⁡2(x2)+1)log⁡(x)tan⁡(x2)2+2cos⁡(x)sin⁡2(x)+tan⁡2(x2)+1x−tan⁡(x2)x2- \frac{x}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x} - \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                                 2                                                                                          
                            /x\     /       2/x\\   /       2/x\\              2/x\ /       2/x\\                                       /       2/x\\    /x\
                2      2*tan|-|   3*|1 + tan |-||   |1 + tan |-|| *log(x)   tan |-|*|1 + tan |-||*log(x)                       3      3*|1 + tan |-||*tan|-|
    3      6*cos (x)        \2/     \        \2//   \        \2//               \2/ \        \2//          5*x*cos(x)   6*x*cos (x)     \        \2//    \2/
- ------ - --------- + -------- - --------------- + --------------------- + ---------------------------- + ---------- + ----------- + ----------------------
  sin(x)       3           3               2                  4                          2                     2             4                 2*x          
            sin (x)       x             2*x                                                                 sin (x)       sin (x)
5xcos⁡(x)sin⁡2(x)+6xcos⁡3(x)sin⁡4(x)+(tan⁡2(x2)+1)2log⁡(x)4+(tan⁡2(x2)+1)log⁡(x)tan⁡2(x2)2−3sin⁡(x)−6cos⁡2(x)sin⁡3(x)+3(tan⁡2(x2)+1)tan⁡(x2)2x−3(tan⁡2(x2)+1)2x2+2tan⁡(x2)x3\frac{5 x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{6 x \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{3}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)}{2 x^{2}} + \frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{3}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ln*tg(x/2)-(x/sinx)
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