Derivada de y=ctgx/sinx

Solución

Ha introducido [src]

cot(x)
------
sin(x)

$$\frac{\cot{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

cot(x)/sin(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
  Method #1
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
  2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
  3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  Method #2
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

        2                   
-1 - cot (x)   cos(x)*cot(x)
------------ - -------------
   sin(x)            2      
                  sin (x)

$$\frac{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/         2   \                                     /       2   \       
|    2*cos (x)|            /       2   \          2*\1 + cot (x)/*cos(x)
|1 + ---------|*cot(x) + 2*\1 + cot (x)/*cot(x) + ----------------------
|        2    |                                           sin(x)        
\     sin (x) /                                                         
------------------------------------------------------------------------
                                 sin(x)

$$\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cot{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

 /                                                                    /         2   \                                              \ 
 |                                                                    |    6*cos (x)|                                              | 
 |                                                                    |5 + ---------|*cos(x)*cot(x)                                | 
 |                                                  /         2   \   |        2    |                   /       2   \              | 
 |  /       2   \ /         2   \     /       2   \ |    2*cos (x)|   \     sin (x) /                 6*\1 + cot (x)/*cos(x)*cot(x)| 
-|2*\1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/ + 3*\1 + cot (x)/*|1 + ---------| + ----------------------------- + -----------------------------| 
 |                                                  |        2    |               sin(x)                          sin(x)           | 
 \                                                  \     sin (x) /                                                                / 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                sin(x)

$$- \frac{3 \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Derivada de y=ctgx/sinx

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2