Sr Examen

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√(x/(x+1))
Derivada de la función/ (x+1)/ √(x/(x+1))

Derivada de √(x/(x+1))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
    _______
   /   x   
  /  ----- 
\/   x + 1
xx+1\sqrt{\frac{x}{x + 1}} 
sqrt(x/(x + 1))
Solución detallada

  1. Sustituimos u=xx+1u = \frac{x}{x + 1}.

  2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxxx+1\frac{d}{d x} \frac{x}{x + 1}:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x y g(x)=x+1g{\left(x \right)} = x + 1.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos x+1x + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        Como resultado de: 11

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      1(x+1)2\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    12xx+1(x+1)2\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right)^{2}}

  4. Simplificamos:

    12xx+1(x+1)2\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right)^{2}}

Respuesta:

12xx+1(x+1)2\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right)^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010020
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
    _______                                 
   /   x            /    1           x     \
  /  ----- *(x + 1)*|--------- - ----------|
\/   x + 1          |2*(x + 1)            2|
                    \            2*(x + 1) /
--------------------------------------------
                     x
xx+1(x+1)(−x2(x+1)2+12(x+1))x\frac{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)}{x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                         /                   x  \
    _______              |            -1 + -----|
   /   x    /       x  \ |2     2          1 + x|
  /  ----- *|-1 + -----|*|- + ----- + ----------|
\/   1 + x  \     1 + x/ \x   1 + x       x     /
-------------------------------------------------
                       4*x
xx+1(xx+1−1)(2x+1+xx+1−1x+2x)4x\frac{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x} + \frac{2}{x}\right)}{4 x}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                         /                                                           2                 \
                         |                                /       x  \   /       x  \      /       x  \|
    _______              |                              3*|-1 + -----|   |-1 + -----|    3*|-1 + -----||
   /   x    /       x  \ |  1       1           1         \     1 + x/   \     1 + x/      \     1 + x/|
  /  ----- *|-1 + -----|*|- -- - -------- - --------- - -------------- - ------------- - --------------|
\/   1 + x  \     1 + x/ |   2          2   x*(1 + x)           2                2        4*x*(1 + x)  |
                         \  x    (1 + x)                     4*x              8*x                      /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   x
xx+1(xx+1−1)(−1(x+1)2−3(xx+1−1)4x(x+1)−1x(x+1)−(xx+1−1)28x2−3(xx+1−1)4x2−1x2)x\frac{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{4 x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{\left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)^{2}}{8 x^{2}} - \frac{3 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{4 x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x}
Simplificar
Gráfico
Derivada de √(x/(x+1))
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