Derivada de (z*e^2iz)\((z+2i)^2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = i z^{2} e^{2}$ y $g{\left(z \right)} = \left(z + 2 i\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$

      Entonces, como resultado: $2 i z e^{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. Sustituimos $u = z + 2 i$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z + 2 i\right)$:

      1. diferenciamos $z + 2 i$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $2 i$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 z + 4 i$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- i z^{2} \left(2 z + 4 i\right) e^{2} + 2 i z \left(z + 2 i\right)^{2} e^{2}}{\left(z + 2 i\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{4 z e^{2}}{z^{3} + 6 i z^{2} - 12 z - 8 i}$

Respuesta:

$- \frac{4 z e^{2}}{z^{3} + 6 i z^{2} - 12 z - 8 i}$