Derivada de xlog(1+e^x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{x} + 1$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(e^{x} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $e^{x} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Derivado $e^{x}$ es.

         Como resultado de: $e^{x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

   Como resultado de: $\frac{x e^{x}}{e^{x} + 1} + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x e^{x} + \left(e^{x} + 1\right) \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{e^{x} + 1}$

Respuesta:

$\frac{x e^{x} + \left(e^{x} + 1\right) \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{e^{x} + 1}$