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Derivada de la función/ y=tan/ xsina/ y=tan(xsina/1-xcosa)

Derivada de y=tan(xsina/1-xcosa)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /x*sin(a)           \
tan|-------- - x*cos(a)|
   \   1               /
tan⁡(−xcos⁡(a)+xsin⁡(a)1)\tan{\left(- x \cos{\left(a \right)} + \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)} 
tan((x*sin(a))/1 - x*cos(a))
Solución detallada

  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

    tan⁡(−xcos⁡(a)+xsin⁡(a)1)=−sin⁡(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)cos⁡(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)\tan{\left(- x \cos{\left(a \right)} + \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)} = - \frac{\sin{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)}}{\cos{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)}}

  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin⁡(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)} y g(x)=cos⁡(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1u = x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)\frac{\partial}{\partial x} \left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1}\right):

        1. diferenciamos xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} miembro por miembro:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: cos⁡(a)\cos{\left(a \right)}

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: sin⁡(a)\sin{\left(a \right)}

            Entonces, como resultado: −sin⁡(a)- \sin{\left(a \right)}

          Como resultado de: −sin⁡(a)+cos⁡(a)- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        (−sin⁡(a)+cos⁡(a))cos⁡(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)\left(- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}\right) \cos{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1u = x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1}.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)\frac{\partial}{\partial x} \left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1}\right):

        1. diferenciamos xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} miembro por miembro:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: cos⁡(a)\cos{\left(a \right)}

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: sin⁡(a)\sin{\left(a \right)}

            Entonces, como resultado: −sin⁡(a)- \sin{\left(a \right)}

          Como resultado de: −sin⁡(a)+cos⁡(a)- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −(−sin⁡(a)+cos⁡(a))sin⁡(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)- \left(- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}\right) \sin{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      (−sin⁡(a)+cos⁡(a))sin⁡2(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)+(−sin⁡(a)+cos⁡(a))cos⁡2(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)cos⁡2(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)\frac{\left(- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)} + \left(- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)}}

    Entonces, como resultado: −(−sin⁡(a)+cos⁡(a))sin⁡2(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)+(−sin⁡(a)+cos⁡(a))cos⁡2(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)cos⁡2(xcos⁡(a)−xsin⁡(a)1)- \frac{\left(- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)} + \left(- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \cos{\left(a \right)} - \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)}}

  3. Simplificamos:

    −2cos⁡(a+π4)cos⁡2(2xcos⁡(a+π4))- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(a + \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{2} x \cos{\left(a + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}

Respuesta:

−2cos⁡(a+π4)cos⁡2(2xcos⁡(a+π4))- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(a + \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{2} x \cos{\left(a + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}

Primera derivada [src] 
/       2/x*sin(a)           \\                   
|1 + tan |-------- - x*cos(a)||*(-cos(a) + sin(a))
\        \   1               //
(sin⁡(a)−cos⁡(a))(tan⁡2(−xcos⁡(a)+xsin⁡(a)1)+1)\left(\sin{\left(a \right)} - \cos{\left(a \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(- x \cos{\left(a \right)} + \frac{x \sin{\left(a \right)}}{1} \right)} + 1\right)
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                     2 /       2                      \                          
-2*(-cos(a) + sin(a)) *\1 + tan (x*(-sin(a) + cos(a)))/*tan(x*(-sin(a) + cos(a)))
−2(sin⁡(a)−cos⁡(a))2(tan⁡2(x(−sin⁡(a)+cos⁡(a)))+1)tan⁡(x(−sin⁡(a)+cos⁡(a)))- 2 \left(\sin{\left(a \right)} - \cos{\left(a \right)}\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left(x \left(- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}\right) \right)} + 1\right) \tan{\left(x \left(- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}\right) \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                    3 /       2                      \ /         2                      \
2*(-cos(a) + sin(a)) *\1 + tan (x*(-sin(a) + cos(a)))/*\1 + 3*tan (x*(-sin(a) + cos(a)))/
2(sin⁡(a)−cos⁡(a))3(tan⁡2(x(−sin⁡(a)+cos⁡(a)))+1)(3tan⁡2(x(−sin⁡(a)+cos⁡(a)))+1)2 \left(\sin{\left(a \right)} - \cos{\left(a \right)}\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(x \left(- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}\right) \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \left(- \sin{\left(a \right)} + \cos{\left(a \right)}\right) \right)} + 1\right)
Simplificar
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