Derivada de 5*tan(x/5)+tan(pi/8)

1. diferenciamos $5 \tan{\left(\frac{x}{5} \right)} + \tan{\left(\frac{\pi}{8} \right)}$ miembro por miembro:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(\frac{x}{5} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{5} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{x}{5}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{5}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $\frac{1}{5}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{\cos{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{x}{5}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{5}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $\frac{1}{5}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{5 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \frac{\pi}{8}$.

   3. $\frac{d}{d u} \tan{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\pi}{8}$:

      1. La derivada de una constante $\frac{\pi}{8}$ es igual a cero.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $0$

   Como resultado de: $\frac{5 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}$