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Derivada de y=(1/2x^2+cbrt(x^4)+2)^3

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                  3
/ 2      ____    \ 
|x    3 /  4     | 
|-- + \/  x   + 2| 
\2               / 
((x22+x43)+2)3\left(\left(\frac{x^{2}}{2} + \sqrt[3]{x^{4}}\right) + 2\right)^{3}
(x^2/2 + (x^4)^(1/3) + 2)^3
Solución detallada
  1. Sustituimos u=(x22+x43)+2u = \left(\frac{x^{2}}{2} + \sqrt[3]{x^{4}}\right) + 2.

  2. Según el principio, aplicamos: u3u^{3} tenemos 3u23 u^{2}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx((x22+x43)+2)\frac{d}{d x} \left(\left(\frac{x^{2}}{2} + \sqrt[3]{x^{4}}\right) + 2\right):

    1. diferenciamos (x22+x43)+2\left(\frac{x^{2}}{2} + \sqrt[3]{x^{4}}\right) + 2 miembro por miembro:

      1. diferenciamos x22+x43\frac{x^{2}}{2} + \sqrt[3]{x^{4}} miembro por miembro:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Entonces, como resultado: xx

        2. Sustituimos u=x4u = x^{4}.

        3. Según el principio, aplicamos: u3\sqrt[3]{u} tenemos 13u23\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx4\frac{d}{d x} x^{4}:

          1. Según el principio, aplicamos: x4x^{4} tenemos 4x34 x^{3}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          4x33x83\frac{4 x^{3}}{3 \left|{x}\right|^{\frac{8}{3}}}

        Como resultado de: 4x33x83+x\frac{4 x^{3}}{3 \left|{x}\right|^{\frac{8}{3}}} + x

      2. La derivada de una constante 22 es igual a cero.

      Como resultado de: 4x33x83+x\frac{4 x^{3}}{3 \left|{x}\right|^{\frac{8}{3}}} + x

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    3(4x33x83+x)((x22+x43)+2)23 \left(\frac{4 x^{3}}{3 \left|{x}\right|^{\frac{8}{3}}} + x\right) \left(\left(\frac{x^{2}}{2} + \sqrt[3]{x^{4}}\right) + 2\right)^{2}

  4. Simplificamos:

    x(4x2+3x83)(x2+2x43+4)24x83\frac{x \left(4 x^{2} + 3 \left|{x^{\frac{8}{3}}}\right|\right) \left(x^{2} + 2 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}} + 4\right)^{2}}{4 \left|{x^{\frac{8}{3}}}\right|}


Respuesta:

x(4x2+3x83)(x2+2x43+4)24x83\frac{x \left(4 x^{2} + 3 \left|{x^{\frac{8}{3}}}\right|\right) \left(x^{2} + 2 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}} + 4\right)^{2}}{4 \left|{x^{\frac{8}{3}}}\right|}

Primera derivada [src]
                  2                 
/ 2      ____    \  /           4/3\
|x    3 /  4     |  |      4*|x|   |
|-- + \/  x   + 2| *|3*x + --------|
\2               /  \         x    /
(3x+4x43x)((x22+x43)+2)2\left(3 x + \frac{4 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}}}{x}\right) \left(\left(\frac{x^{2}}{2} + \sqrt[3]{x^{4}}\right) + 2\right)^{2}
Segunda derivada [src]
/                  2                                                           \                  
|  /           4/3\                        /          4/3      3 _____        \| /       4/3    2\
|  |      4*|x|   |    /     2        4/3\ |    12*|x|      16*\/ |x| *sign(x)|| |1   |x|      x |
|4*|3*x + --------|  + \4 + x  + 2*|x|   /*|9 - --------- + ------------------||*|- + ------ + --|
|  \         x    /                        |         2              x         || \3     6      12/
\                                          \        x                         //                  
(4(3x+4x43x)2+(9+16x3sign(x)x12x43x2)(x2+2x43+4))(x212+x436+13)\left(4 \left(3 x + \frac{4 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}}}{x}\right)^{2} + \left(9 + \frac{16 \sqrt[3]{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} - \frac{12 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}}}{x^{2}}\right) \left(x^{2} + 2 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}} + 4\right)\right) \left(\frac{x^{2}}{12} + \frac{\left|{x}\right|^{\frac{4}{3}}}{6} + \frac{1}{3}\right)
Tercera derivada [src]
                                           2 /      2           4/3                                 3 _____        \                                                                              
                        /     2        4/3\  |2*sign (x)   9*|x|         3 _____                 12*\/ |x| *sign(x)|                                                                              
                  3   2*\4 + x  + 2*|x|   / *|---------- + -------- + 12*\/ |x| *DiracDelta(x) - ------------------|                                                                              
  /           4/3\                           |     2/3         2                                         x         |     /           4/3\                     /          4/3      3 _____        \
  |      4*|x|   |                           \  |x|           x                                                    /     |      4*|x|   | /     2        4/3\ |    12*|x|      16*\/ |x| *sign(x)|
2*|3*x + --------|  + ---------------------------------------------------------------------------------------------- + 3*|3*x + --------|*\4 + x  + 2*|x|   /*|9 - --------- + ------------------|
  \         x    /                                                  x                                                    \         x    /                     |         2              x         |
                                                                                                                                                              \        x                         /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                9                                                                                                 
2(3x+4x43x)3+3(3x+4x43x)(9+16x3sign(x)x12x43x2)(x2+2x43+4)+2(x2+2x43+4)2(12x3δ(x)+2sign2(x)x2312x3sign(x)x+9x43x2)x9\frac{2 \left(3 x + \frac{4 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}}}{x}\right)^{3} + 3 \left(3 x + \frac{4 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}}}{x}\right) \left(9 + \frac{16 \sqrt[3]{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} - \frac{12 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}}}{x^{2}}\right) \left(x^{2} + 2 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}} + 4\right) + \frac{2 \left(x^{2} + 2 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}} + 4\right)^{2} \left(12 \sqrt[3]{\left|{x}\right|} \delta\left(x\right) + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}} - \frac{12 \sqrt[3]{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} + \frac{9 \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}}}{x^{2}}\right)}{x}}{9}