Derivada de y=ctglnx/x

Solución

Ha introducido [src]

cot(log(x))
-----------
     x

$$\frac{\cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$$

cot(log(x))/x

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
  Method #1
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$
  2. Sustituimos $u = \tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ .
  3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$ .
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$ :
      
      Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$ .
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$ :
      
      Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$
  Method #2
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$ .
    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$ :
      
      Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$ .
    2. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$ :
      
      Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- \frac{x \left(\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} - \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{\sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} + 2}{x^{2} \left(\cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} - 1\right)}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} + 2}{x^{2} \left(\cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} - 1\right)}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

        2                      
-1 - cot (log(x))   cot(log(x))
----------------- - -----------
         2                2    
        x                x

$$\frac{- \cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1}{x^{2}} - \frac{\cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

         2                           /       2        \                    
2 + 2*cot (log(x)) + 2*cot(log(x)) + \1 + cot (log(x))/*(1 + 2*cot(log(x)))
---------------------------------------------------------------------------
                                      3                                    
                                     x

$$\frac{\left(2 \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right) + 2 \cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2}{x^{3}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

 /         2                             /       2        \ /         2                        \     /       2        \                    \ 
-\6 + 6*cot (log(x)) + 6*cot(log(x)) + 2*\1 + cot (log(x))/*\2 + 3*cot (log(x)) + 3*cot(log(x))/ + 3*\1 + cot (log(x))/*(1 + 2*cot(log(x)))/ 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                       4                                                                     
                                                                      x

$$- \frac{3 \left(2 \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right) + 2 \left(\cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 3 \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) + 6 \cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 6 \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 6}{x^{4}}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de y=ctglnx/x

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2