Derivada de y=ctg(lnx/x)

Ha introducido [src]

   /log(x)\
cot|------|
   \  x   /

\cot{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}

cot(log(x)/x)

Solución detallada

Hay varias formas de calcular esta derivada.
Method #1
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}$
2. Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}$ .
3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$ .
    2. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$ :
      
      Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $\frac{\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$ .
    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$ :
      
      Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\frac{\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{\frac{\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}$
Method #2
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$ :
    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$ :
    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{- \frac{\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}}}{\sin^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{\log{\left(x \right)} - 1}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)} - 1}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

/        2/log(x)\\ /1    log(x)\
|-1 - cot |------||*|-- - ------|
\         \  x   // | 2      2  |
                    \x      x   /

\left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} - 1\right)

Simplificar

Segunda derivada [src]

                   /                              2    /log(x)\\
                   |               2*(-1 + log(x)) *cot|------||
/       2/log(x)\\ |                                   \  x   /|
|1 + cot |------||*|3 - 2*log(x) + ----------------------------|
\        \  x   // \                            x              /
----------------------------------------------------------------
                                3                               
                               x

\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} + 1\right) \left(- 2 \log{\left(x \right)} + 3 + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cot{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}}

Simplificar

Tercera derivada [src]

                   /                                3 /       2/log(x)\\                  3    2/log(x)\                                      /log(x)\\
                   |                 2*(-1 + log(x)) *|1 + cot |------||   4*(-1 + log(x)) *cot |------|   6*(-1 + log(x))*(-3 + 2*log(x))*cot|------||
/       2/log(x)\\ |                                  \        \  x   //                        \  x   /                                      \  x   /|
|1 + cot |------||*|-11 + 6*log(x) + ----------------------------------- + ----------------------------- - -------------------------------------------|
\        \  x   // |                                   2                                  2                                     x                     |
                   \                                  x                                  x                                                            /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                            4                                                                          
                                                                           x

\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} + 1\right) \left(6 \log{\left(x \right)} - 11 - \frac{6 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \cot{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \left(\cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{4 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Derivada de y=ctg(lnx/x)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2