Derivada de y=x×sin(lnx)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

   Como resultado de: $\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}$

Respuesta:

$\sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}$