Derivada de xtg(ln3x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \tan{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}}{\cos{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \log{\left(3 x \right)}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(3 x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 3 x$.

         2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{1}{x}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\cos{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}}{x}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \log{\left(3 x \right)}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(3 x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 3 x$.

         2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{1}{x}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\sin{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}}{x}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}}{x}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{x \left(\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}}{x}\right)}{\cos^{2}{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}} + \tan{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\frac{\sin{\left(2 \log{\left(3 x \right)} \right)}}{2} + 1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\frac{\sin{\left(2 \log{\left(3 x \right)} \right)}}{2} + 1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(3 x \right)} \right)}}$