Derivada de xtg(x+3)+log(cos(x+3))

1. diferenciamos $x \tan{\left(x + 3 \right)} + \log{\left(\cos{\left(x + 3 \right)} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x + 3 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(x + 3 \right)} = \frac{\sin{\left(x + 3 \right)}}{\cos{\left(x + 3 \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + 3 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x + 3 \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x + 3$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)$:

            1. diferenciamos $x + 3$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\cos{\left(x + 3 \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x + 3$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)$:

            1. diferenciamos $x + 3$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \sin{\left(x + 3 \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x + 3 \right)} + \cos^{2}{\left(x + 3 \right)}}{\cos^{2}{\left(x + 3 \right)}}$

      Como resultado de: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x + 3 \right)} + \cos^{2}{\left(x + 3 \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x + 3 \right)}} + \tan{\left(x + 3 \right)}$

   2. Sustituimos $u = \cos{\left(x + 3 \right)}$.

   3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x + 3 \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + 3$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)$:

         1. diferenciamos $x + 3$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \sin{\left(x + 3 \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{\sin{\left(x + 3 \right)}}{\cos{\left(x + 3 \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x + 3 \right)} + \cos^{2}{\left(x + 3 \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x + 3 \right)}} - \frac{\sin{\left(x + 3 \right)}}{\cos{\left(x + 3 \right)}} + \tan{\left(x + 3 \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x - \frac{\sin{\left(2 x + 6 \right)}}{2} + \cos^{2}{\left(x + 3 \right)} \tan{\left(x + 3 \right)}}{\cos^{2}{\left(x + 3 \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x - \frac{\sin{\left(2 x + 6 \right)}}{2} + \cos^{2}{\left(x + 3 \right)} \tan{\left(x + 3 \right)}}{\cos^{2}{\left(x + 3 \right)}}$