Derivada de x/sqrt(1-x^2/a^2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right)$:

      1. diferenciamos $1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $- \frac{2 x}{a^{2}}$

         Como resultado de: $- \frac{2 x}{a^{2}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{x}{a^{2} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} + \frac{x^{2}}{a^{2} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}}}{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{a^{2}}{\sqrt{\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2}}} \left(a^{2} - x^{2}\right)}$

Respuesta:

$\frac{a^{2}}{\sqrt{\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2}}} \left(a^{2} - x^{2}\right)}$