Derivada de y=x³cos(x)sin(x)

Solución

Ha introducido [src]

 3              
x *cos(x)*sin(x)

$$x^{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}$$

(x^3*cos(x))*sin(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x^{3} \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x^{3}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$
  $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $- x^{3} \sin{\left(x \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(x \right)}$
$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Como resultado de: $x^{3} \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(- x^{3} \sin{\left(x \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$
Simplificamos:

$x^{2} \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)$

Respuesta:

$x^{2} \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

 3    2      /   3             2       \       
x *cos (x) + \- x *sin(x) + 3*x *cos(x)/*sin(x)

$$x^{3} \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(- x^{3} \sin{\left(x \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

   //             2                    \           2                                                  \
-x*\\-6*cos(x) + x *cos(x) + 6*x*sin(x)/*sin(x) + x *cos(x)*sin(x) + 2*x*(-3*cos(x) + x*sin(x))*cos(x)/

$$- x \left(x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 x \left(x \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} + \left(x^{2} \cos{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(x \right)} - 6 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}\right)$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

/            3                           2       \           3    2          /             2                    \             2                              
\6*cos(x) + x *sin(x) - 18*x*sin(x) - 9*x *cos(x)/*sin(x) - x *cos (x) - 3*x*\-6*cos(x) + x *cos(x) + 6*x*sin(x)/*cos(x) + 3*x *(-3*cos(x) + x*sin(x))*sin(x)

$$- x^{3} \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 x^{2} \left(x \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - 3 x \left(x^{2} \cos{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(x \right)} - 6 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} + \left(x^{3} \sin{\left(x \right)} - 9 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 18 x \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$$

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Gráfico

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Definida a trozos:

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