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Derivada de la función/ y=sqrt(4x/(10-x))+(3x+1)/(2x^2-x-3)

Derivada de y=sqrt(4x/(10-x))+(3x+1)/(2x^2-x-3)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
    ________               
   /  4*x        3*x + 1   
  /  ------  + ------------
\/   10 - x       2        
               2*x  - x - 3
4x10−x+3x+1(2x2−x)−3\sqrt{\frac{4 x}{10 - x}} + \frac{3 x + 1}{\left(2 x^{2} - x\right) - 3} 
sqrt((4*x)/(10 - x)) + (3*x + 1)/(2*x^2 - x - 3)
Solución detallada

  1. diferenciamos 4x10−x+3x+1(2x2−x)−3\sqrt{\frac{4 x}{10 - x}} + \frac{3 x + 1}{\left(2 x^{2} - x\right) - 3} miembro por miembro:

    1. Sustituimos u=4x10−xu = \frac{4 x}{10 - x}.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx4x10−x\frac{d}{d x} \frac{4 x}{10 - x}:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=4xf{\left(x \right)} = 4 x y g(x)=10−xg{\left(x \right)} = 10 - x.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 44

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. diferenciamos 10−x10 - x miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 1010 es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: −1-1

          Como resultado de: −1-1

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        40(10−x)2\frac{40}{\left(10 - x\right)^{2}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      10x10−x(10−x)2\frac{10}{\sqrt{\frac{x}{10 - x}} \left(10 - x\right)^{2}}

    4. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=3x+1f{\left(x \right)} = 3 x + 1 y g(x)=2x2−x−3g{\left(x \right)} = 2 x^{2} - x - 3.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos 3x+13 x + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 33

        Como resultado de: 33

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos 2x2−x−32 x^{2} - x - 3 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante −3-3 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: −1-1

        3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Entonces, como resultado: 4x4 x

        Como resultado de: 4x−14 x - 1

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      6x2−3x−(3x+1)(4x−1)−9(2x2−x−3)2\frac{6 x^{2} - 3 x - \left(3 x + 1\right) \left(4 x - 1\right) - 9}{\left(2 x^{2} - x - 3\right)^{2}}

    Como resultado de: 6x2−3x−(3x+1)(4x−1)−9(2x2−x−3)2+10x10−x(10−x)2\frac{6 x^{2} - 3 x - \left(3 x + 1\right) \left(4 x - 1\right) - 9}{\left(2 x^{2} - x - 3\right)^{2}} + \frac{10}{\sqrt{\frac{x}{10 - x}} \left(10 - x\right)^{2}}

  2. Simplificamos:

    −6x2(−2x2+x+3)2−4x(−2x2+x+3)2−8(−2x2+x+3)2+10−xx−10(x−10)2- \frac{6 x^{2}}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{2}} - \frac{4 x}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{2}} - \frac{8}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{2}} + \frac{10}{\sqrt{- \frac{x}{x - 10}} \left(x - 10\right)^{2}}

Respuesta:

−6x2(−2x2+x+3)2−4x(−2x2+x+3)2−8(−2x2+x+3)2+10−xx−10(x−10)2- \frac{6 x^{2}}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{2}} - \frac{4 x}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{2}} - \frac{8}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{2}} + \frac{10}{\sqrt{- \frac{x}{x - 10}} \left(x - 10\right)^{2}}

Primera derivada [src] 
                                         ________                              
                                        /  4*x             /  2         2*x   \
                                       /  ------ *(10 - x)*|------ + ---------|
                                     \/   10 - x           |10 - x           2|
     3         (1 - 4*x)*(3*x + 1)                         \         (10 - x) /
------------ + ------------------- + ------------------------------------------
   2                           2                        4*x                    
2*x  - x - 3     /   2        \                                                
                 \2*x  - x - 3/
(1−4x)(3x+1)((2x2−x)−3)2+3(2x2−x)−3+4x10−x(10−x)(2x(10−x)2+210−x)4x\frac{\left(1 - 4 x\right) \left(3 x + 1\right)}{\left(\left(2 x^{2} - x\right) - 3\right)^{2}} + \frac{3}{\left(2 x^{2} - x\right) - 3} + \frac{\sqrt{\frac{4 x}{10 - x}} \left(10 - x\right) \left(\frac{2 x}{\left(10 - x\right)^{2}} + \frac{2}{10 - x}\right)}{4 x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                          _________                      _________               2                                 _________               
                                         /   -x     /        x   \      /   -x     /        x   \                                 /   -x     /        x   \
                                        /  ------- *|-1 + -------|     /  ------- *|-1 + -------|                2               /  ------- *|-1 + -------|
    6*(-1 + 4*x)      4*(1 + 3*x)     \/   -10 + x  \     -10 + x/   \/   -10 + x  \     -10 + x/    2*(-1 + 4*x) *(1 + 3*x)   \/   -10 + x  \     -10 + x/
- --------------- - --------------- + ---------------------------- + ----------------------------- - ----------------------- + ----------------------------
                2                 2                 2                                2                                 3               x*(-10 + x)         
  /           2\    /           2\                 x                              2*x                    /           2\                                    
  \3 + x - 2*x /    \3 + x - 2*x /                                                                       \3 + x - 2*x /
−2(3x+1)(4x−1)2(−2x2+x+3)3−4(3x+1)(−2x2+x+3)2−6(4x−1)(−2x2+x+3)2+−xx−10(xx−10−1)x(x−10)+−xx−10(xx−10−1)22x2+−xx−10(xx−10−1)x2- \frac{2 \left(3 x + 1\right) \left(4 x - 1\right)^{2}}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{3}} - \frac{4 \left(3 x + 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{2}} - \frac{6 \left(4 x - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{2}} + \frac{\sqrt{- \frac{x}{x - 10}} \left(\frac{x}{x - 10} - 1\right)}{x \left(x - 10\right)} + \frac{\sqrt{- \frac{x}{x - 10}} \left(\frac{x}{x - 10} - 1\right)^{2}}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{- \frac{x}{x - 10}} \left(\frac{x}{x - 10} - 1\right)}{x^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                                                                _________                        _________               2       _________               3         _________                        _________                        _________               2
                                                                                               /   -x     /        x   \        /   -x     /        x   \       /   -x     /        x   \         /   -x     /        x   \        /   -x     /        x   \        /   -x     /        x   \ 
                                  2                                         3             2*  /  ------- *|-1 + -------|   3*  /  ------- *|-1 + -------|      /  ------- *|-1 + -------|    2*  /  ------- *|-1 + -------|   2*  /  ------- *|-1 + -------|   3*  /  ------- *|-1 + -------| 
         36          18*(-1 + 4*x)    24*(1 + 3*x)*(-1 + 4*x)   6*(-1 + 4*x) *(1 + 3*x)     \/   -10 + x  \     -10 + x/     \/   -10 + x  \     -10 + x/    \/   -10 + x  \     -10 + x/      \/   -10 + x  \     -10 + x/     \/   -10 + x  \     -10 + x/     \/   -10 + x  \     -10 + x/ 
- --------------- - --------------- - ----------------------- - ----------------------- - ------------------------------ - ------------------------------- - ----------------------------- - ------------------------------ - ------------------------------ - -------------------------------
                2                 3                     3                         4                      3                                  3                                3                                   2                      2                                  2                  
  /           2\    /           2\        /           2\            /           2\                      x                                2*x                              4*x                         x*(-10 + x)                      x *(-10 + x)                     2*x *(-10 + x)        
  \3 + x - 2*x /    \3 + x - 2*x /        \3 + x - 2*x /            \3 + x - 2*x /
−6(3x+1)(4x−1)3(−2x2+x+3)4−24(3x+1)(4x−1)(−2x2+x+3)3−18(4x−1)2(−2x2+x+3)3−36(−2x2+x+3)2−2−xx−10(xx−10−1)x(x−10)2−3−xx−10(xx−10−1)22x2(x−10)−2−xx−10(xx−10−1)x2(x−10)−−xx−10(xx−10−1)34x3−3−xx−10(xx−10−1)22x3−2−xx−10(xx−10−1)x3- \frac{6 \left(3 x + 1\right) \left(4 x - 1\right)^{3}}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{4}} - \frac{24 \left(3 x + 1\right) \left(4 x - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{3}} - \frac{18 \left(4 x - 1\right)^{2}}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{3}} - \frac{36}{\left(- 2 x^{2} + x + 3\right)^{2}} - \frac{2 \sqrt{- \frac{x}{x - 10}} \left(\frac{x}{x - 10} - 1\right)}{x \left(x - 10\right)^{2}} - \frac{3 \sqrt{- \frac{x}{x - 10}} \left(\frac{x}{x - 10} - 1\right)^{2}}{2 x^{2} \left(x - 10\right)} - \frac{2 \sqrt{- \frac{x}{x - 10}} \left(\frac{x}{x - 10} - 1\right)}{x^{2} \left(x - 10\right)} - \frac{\sqrt{- \frac{x}{x - 10}} \left(\frac{x}{x - 10} - 1\right)^{3}}{4 x^{3}} - \frac{3 \sqrt{- \frac{x}{x - 10}} \left(\frac{x}{x - 10} - 1\right)^{2}}{2 x^{3}} - \frac{2 \sqrt{- \frac{x}{x - 10}} \left(\frac{x}{x - 10} - 1\right)}{x^{3}}
Simplificar
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