Derivada de x(sqrt(x^2+2x+3))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \left(x^{2} + 2 x\right) + 3$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 3\right)$:

      1. diferenciamos $\left(x^{2} + 2 x\right) + 3$ miembro por miembro:

         1. diferenciamos $x^{2} + 2 x$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de: $2 x + 2$

         2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

         Como resultado de: $2 x + 2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 x + 2}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3}}$

   Como resultado de: $\frac{x \left(2 x + 2\right)}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3}} + \sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x^{2} + 3 x + 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 3}}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 3}}$