Sr Examen

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xsin(ln(x^2-1))cos(-sqrt(1-x^2))
Derivada de la función/ xsin(ln(x^2-1))cos(-sqrt(1-x^2))

Derivada de xsin(ln(x^2-1))cos(-sqrt(1-x^2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                      /    ________\
     /   / 2    \\    |   /      2 |
x*sin\log\x  - 1//*cos\-\/  1 - x  /
xsin⁡(log⁡(x2−1))cos⁡(−1−x2)x \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)} \cos{\left(- \sqrt{1 - x^{2}} \right)} 
(x*sin(log(x^2 - 1)))*cos(-sqrt(1 - x^2))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=xsin⁡(log⁡(x2−1))f{\left(x \right)} = x \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=sin⁡(log⁡(x2−1))g{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=log⁡(x2−1)u = \log{\left(x^{2} - 1 \right)}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxlog⁡(x2−1)\frac{d}{d x} \log{\left(x^{2} - 1 \right)}:

        1. Sustituimos u=x2−1u = x^{2} - 1.

        2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2−1)\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right):

          1. diferenciamos x2−1x^{2} - 1 miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

            2. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

            Como resultado de: 2x2 x

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2xx2−1\frac{2 x}{x^{2} - 1}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2xcos⁡(log⁡(x2−1))x2−1\frac{2 x \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1}

      Como resultado de: 2x2cos⁡(log⁡(x2−1))x2−1+sin⁡(log⁡(x2−1))\frac{2 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} + \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}

    g(x)=cos⁡(−1−x2)g{\left(x \right)} = \cos{\left(- \sqrt{1 - x^{2}} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=−1−x2u = - \sqrt{1 - x^{2}}.

    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(−1−x2)\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{1 - x^{2}}\right):

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=1−x2u = 1 - x^{2}.

        2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(1−x2)\frac{d}{d x} \left(1 - x^{2}\right):

          1. diferenciamos 1−x21 - x^{2} miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

              Entonces, como resultado: −2x- 2 x

            Como resultado de: −2x- 2 x

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −x1−x2- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

        Entonces, como resultado: x1−x2\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      xsin⁡(1−x2)1−x2\frac{x \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}

    Como resultado de: x2sin⁡(1−x2)sin⁡(log⁡(x2−1))1−x2+(2x2cos⁡(log⁡(x2−1))x2−1+sin⁡(log⁡(x2−1)))cos⁡(−1−x2)\frac{x^{2} \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)} \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \left(\frac{2 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} + \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}\right) \cos{\left(- \sqrt{1 - x^{2}} \right)}

  2. Simplificamos:

    −x2(x2−1)sin⁡(1−x2)sin⁡(log⁡(x2−1))+1−x2(2x2cos⁡(log⁡(x2−1))+(x2−1)sin⁡(log⁡(x2−1)))cos⁡(1−x2)(1−x2)32- \frac{x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)} \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)} + \sqrt{1 - x^{2}} \left(2 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)} + \left(x^{2} - 1\right) \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}\right) \cos{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}

Respuesta:

−x2(x2−1)sin⁡(1−x2)sin⁡(log⁡(x2−1))+1−x2(2x2cos⁡(log⁡(x2−1))+(x2−1)sin⁡(log⁡(x2−1)))cos⁡(1−x2)(1−x2)32- \frac{x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)} \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)} + \sqrt{1 - x^{2}} \left(2 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)} + \left(x^{2} - 1\right) \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}\right) \cos{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-250000250000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                                                                     /   ________\                 
/   2    /   / 2    \\                   \    /    ________\    2    |  /      2 |    /   / 2    \\
|2*x *cos\log\x  - 1//      /   / 2    \\|    |   /      2 |   x *sin\\/  1 - x  /*sin\log\x  - 1//
|--------------------- + sin\log\x  - 1//|*cos\-\/  1 - x  / + ------------------------------------
|         2                              |                                    ________             
\        x  - 1                          /                                   /      2              
                                                                           \/  1 - x
x2sin⁡(1−x2)sin⁡(log⁡(x2−1))1−x2+(2x2cos⁡(log⁡(x2−1))x2−1+sin⁡(log⁡(x2−1)))cos⁡(−1−x2)\frac{x^{2} \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)} \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \left(\frac{2 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} + \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}\right) \cos{\left(- \sqrt{1 - x^{2}} \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                                                                                     /                           2    /   /      2\\      2    /   /      2\\\    /   ________\     /   2    /   /      2\\                    \    /   ________\\
  |                                                                                     |       /   /      2\\   2*x *cos\log\-1 + x //   2*x *sin\log\-1 + x //|    |  /      2 |     |2*x *cos\log\-1 + x //      /   /      2\\|    |  /      2 ||
  |/   /   ________\         /   ________\         /   ________\\                     2*|- 3*cos\log\-1 + x // + ---------------------- + ----------------------|*cos\\/  1 - x  /   2*|---------------------- + sin\log\-1 + x //|*sin\\/  1 - x  /|
  ||   |  /      2 |    2    |  /      2 |    2    |  /      2 ||                       |                                     2                        2        |                      |             2                            |                 |
  ||sin\\/  1 - x  /   x *sin\\/  1 - x  /   x *cos\\/  1 - x  /|    /   /      2\\     \                               -1 + x                   -1 + x         /                      \       -1 + x                             /                 |
x*||---------------- + ------------------- + -------------------|*sin\log\-1 + x // - -------------------------------------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------|
  ||     ________                  3/2                   2      |                                                                     2                                                                           ________                          |
  ||    /      2           /     2\                -1 + x       |                                                               -1 + x                                                                           /      2                           |
  \\  \/  1 - x            \1 - x /                             /                                                                                                                                              \/  1 - x                            /
x((x2cos⁡(1−x2)x2−1+x2sin⁡(1−x2)(1−x2)32+sin⁡(1−x2)1−x2)sin⁡(log⁡(x2−1))−2(2x2sin⁡(log⁡(x2−1))x2−1+2x2cos⁡(log⁡(x2−1))x2−1−3cos⁡(log⁡(x2−1)))cos⁡(1−x2)x2−1+2(2x2cos⁡(log⁡(x2−1))x2−1+sin⁡(log⁡(x2−1)))sin⁡(1−x2)1−x2)x \left(\left(\frac{x^{2} \cos{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right) \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)} - \frac{2 \left(\frac{2 x^{2} \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} + \frac{2 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} - 3 \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}\right) \cos{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(\frac{2 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} + \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}\right) \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                                                                                                                                                                                                                         /                                                                             /                                                 2    /   /      2\\      2    /   /      2\\\\                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                                                                                         |                                                                           2 |       /   /      2\\        /   /      2\\   2*x *cos\log\-1 + x //   6*x *sin\log\-1 + x //||                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                                                                                         |                                                                        2*x *|- 3*cos\log\-1 + x // - 3*sin\log\-1 + x // + ---------------------- + ----------------------||                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                                                                                         |                         2    /   /      2\\      2    /   /      2\\        |                                                           2                        2        ||    /   ________\        /                           2    /   /      2\\      2    /   /      2\\\    /   ________\
                                                                                                                                                                                                                                                         |     /   /      2\\   6*x *cos\log\-1 + x //   6*x *sin\log\-1 + x //        \                                                     -1 + x                   -1 + x         /|    |  /      2 |      2 |       /   /      2\\   2*x *cos\log\-1 + x //   2*x *sin\log\-1 + x //|    |  /      2 |
                                               /   /   ________\         /   ________\         /   ________\\      /     /   ________\        /   ________\         /   ________\           /   ________\           /   ________\\                     2*|3*cos\log\-1 + x // - ---------------------- - ---------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------|*cos\\/  1 - x  /   6*x *|- 3*cos\log\-1 + x // + ---------------------- + ----------------------|*sin\\/  1 - x  /
  /   2    /   /      2\\                    \ |   |  /      2 |    2    |  /      2 |    2    |  /      2 ||      |     |  /      2 |        |  /      2 |    2    |  /      2 |      2    |  /      2 |      2    |  /      2 ||                       |                                   2                        2                                                               2                                               |                         |                                     2                        2        |                 
  |2*x *cos\log\-1 + x //      /   /      2\\| |sin\\/  1 - x  /   x *sin\\/  1 - x  /   x *cos\\/  1 - x  /|    2 |3*sin\\/  1 - x  /   3*cos\\/  1 - x  /   x *sin\\/  1 - x  /   3*x *cos\\/  1 - x  /   3*x *sin\\/  1 - x  /|    /   /      2\\     \                             -1 + x                   -1 + x                                                          -1 + x                                                /                         \                               -1 + x                   -1 + x         /                 
3*|---------------------- + sin\log\-1 + x //|*|---------------- + ------------------- + -------------------| + x *|------------------ + ------------------ - ------------------- - --------------------- + ---------------------|*sin\log\-1 + x // + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - -----------------------------------------------------------------------------------------------
  |             2                            | |     ________                  3/2                   2      |      |           3/2                  2                     3/2                      2                     5/2     |                                                                                                                        2                                                                                                                                        ________                                               
  \       -1 + x                             / |    /      2           /     2\                -1 + x       |      |   /     2\               -1 + x              /     2\                /      2\              /     2\        |                                                                                                                  -1 + x                                                                                                                                        /      2  /      2\                                     
                                               \  \/  1 - x            \1 - x /                             /      \   \1 - x /                                   \1 - x /                \-1 + x /              \1 - x /        /                                                                                                                                                                                                                                                              \/  1 - x  *\-1 + x /
x2(−3x2cos⁡(1−x2)(x2−1)2−x2sin⁡(1−x2)(1−x2)32+3x2sin⁡(1−x2)(1−x2)52+3cos⁡(1−x2)x2−1+3sin⁡(1−x2)(1−x2)32)sin⁡(log⁡(x2−1))−6x2(2x2sin⁡(log⁡(x2−1))x2−1+2x2cos⁡(log⁡(x2−1))x2−1−3cos⁡(log⁡(x2−1)))sin⁡(1−x2)1−x2(x2−1)+3(2x2cos⁡(log⁡(x2−1))x2−1+sin⁡(log⁡(x2−1)))(x2cos⁡(1−x2)x2−1+x2sin⁡(1−x2)(1−x2)32+sin⁡(1−x2)1−x2)+2(2x2(6x2sin⁡(log⁡(x2−1))x2−1+2x2cos⁡(log⁡(x2−1))x2−1−3sin⁡(log⁡(x2−1))−3cos⁡(log⁡(x2−1)))x2−1−6x2sin⁡(log⁡(x2−1))x2−1−6x2cos⁡(log⁡(x2−1))x2−1+3cos⁡(log⁡(x2−1)))cos⁡(1−x2)x2−1x^{2} \left(- \frac{3 x^{2} \cos{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{x^{2} \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{3 \cos{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{x^{2} - 1} + \frac{3 \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)} - \frac{6 x^{2} \left(\frac{2 x^{2} \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} + \frac{2 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} - 3 \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}\right) \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(x^{2} - 1\right)} + 3 \left(\frac{2 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} + \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}\right) \left(\frac{x^{2} \cos{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} \sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sin{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right) + \frac{2 \left(\frac{2 x^{2} \left(\frac{6 x^{2} \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} + \frac{2 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} - 3 \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)} - 3 \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} \sin{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}}{x^{2} - 1} + 3 \cos{\left(\log{\left(x^{2} - 1 \right)} \right)}\right) \cos{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}}{x^{2} - 1}
Simplificar
Gráfico
Derivada de xsin(ln(x^2-1))cos(-sqrt(1-x^2))
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