Derivada de y=2x*sin(2^x+1)+3

1. diferenciamos $2 x \sin{\left(2^{x} + 1 \right)} + 3$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 2 x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2^{x} + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2^{x} + 1$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2^{x} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $2^{x} + 1$ miembro por miembro:

            1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left(2 \right)}$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $2^{x} \log{\left(2 \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2^{x} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(2^{x} + 1 \right)}$

      Como resultado de: $2 \cdot 2^{x} x \log{\left(2 \right)} \cos{\left(2^{x} + 1 \right)} + 2 \sin{\left(2^{x} + 1 \right)}$

   2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

   Como resultado de: $2 \cdot 2^{x} x \log{\left(2 \right)} \cos{\left(2^{x} + 1 \right)} + 2 \sin{\left(2^{x} + 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $2 \cdot 2^{x} x \log{\left(2 \right)} \cos{\left(2^{x} + 1 \right)} + 2 \sin{\left(2^{x} + 1 \right)}$

Respuesta:

$2 \cdot 2^{x} x \log{\left(2 \right)} \cos{\left(2^{x} + 1 \right)} + 2 \sin{\left(2^{x} + 1 \right)}$