Derivada de (x-sin(x))/(x+sin(x))

Solución

Ha introducido [src]

x - sin(x)
----------
x + sin(x)

$$\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x + \sin{\left(x \right)}}$$

(x - sin(x))/(x + sin(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x - \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x + \sin{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x - \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Entonces, como resultado: $- \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $1 - \cos{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x + \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $\cos{\left(x \right)} + 1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \left(x + \sin{\left(x \right)}\right) - \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{2 \left(- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)}{\left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)}{\left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

1 - cos(x)   (-1 - cos(x))*(x - sin(x))
---------- + --------------------------
x + sin(x)                     2       
                   (x + sin(x))

$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x + \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(- \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$$

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Segunda derivada [src]

             /              2         \                                        
             |2*(1 + cos(x))          |                                        
(x - sin(x))*|--------------- + sin(x)|                                        
             \   x + sin(x)           /   2*(1 + cos(x))*(-1 + cos(x))         
--------------------------------------- + ---------------------------- + sin(x)
               x + sin(x)                          x + sin(x)                  
-------------------------------------------------------------------------------
                                   x + sin(x)

$$\frac{\frac{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{x + \sin{\left(x \right)}}\right)}{x + \sin{\left(x \right)}} + \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x + \sin{\left(x \right)}}}{x + \sin{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

               /                        3                        \                                                                              
               |          6*(1 + cos(x))    6*(1 + cos(x))*sin(x)|                                           /              2         \         
  (x - sin(x))*|-cos(x) + --------------- + ---------------------|                                           |2*(1 + cos(x))          |         
               |                       2          x + sin(x)     |                           3*(-1 + cos(x))*|--------------- + sin(x)|         
               \           (x + sin(x))                          /   3*(1 + cos(x))*sin(x)                   \   x + sin(x)           /         
- ---------------------------------------------------------------- - --------------------- - ------------------------------------------ + cos(x)
                             x + sin(x)                                    x + sin(x)                        x + sin(x)                         
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                   x + sin(x)

$$\frac{- \frac{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(- \cos{\left(x \right)} + \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{x + \sin{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}\right)}{x + \sin{\left(x \right)}} + \cos{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{x + \sin{\left(x \right)}}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x + \sin{\left(x \right)}} - \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{x + \sin{\left(x \right)}}}{x + \sin{\left(x \right)}}$$

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Gráfico:

Definida a trozos:

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